http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3604
这个题目足足花费了我一个下午的时间.经历了数十次TLE,RE,CE后,终于将其摆平.
这是一道关于素数的经典好题,之所以这样说是因为它对数学推理和算法复杂度的要求都非常高.先总结一下用到的知识点:
1. 筛法生成素数表(次要)
2. 积性函数和立方公式的推导(核心一)
3. 5万组数据和5百万复杂度的限制下快速分解质因数(核心之二)
题意是给定一个N，求N的所有约数的约数个数的立方之和.(仔细推敲这句话).
首先想到的算法是依次求出从1到5000000每个数约数的个数,然后再利用递推求出结果,但是很不幸严重超时了.
POJ的牛人给出了一个终极公式:
其中:
下面进行的数学推理:
上面公式的意思是将N分解质因数并写成指数的形式,那么最后的结果为这些指数的求和,平方,连乘运算.
1.我们首先假设f(x)代表x的约数的个数,一个数x 的素因数分解为 PI( pi^ki ) . 那么f(x) = PI( 1+ki ). (PI代表连乘符号)
2.假设题目所求结果为g(x), 则如果x= pi^ki,
则根据题目中的定义易得 g( pi^ki) =f(pi^0)+ f(pi^1) + f(pi^2) +…f(pi^ki) =1^3 +2^3+3^3….(ki+1)^3
这里有一个立方和公式:
1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2
故上式继续等于 [(1+ki)*(2+ki)]^2
所以我们得到 g( pi^ki) = [(1+ki)*(2+ki)]^2;
现在对于任意一个 x = PI( pi^ki ) ,
易证g(n)为积性函数，即g(nm)=g(n)*g(m)
所以g(x) = g(PI( pi^ki )) = PI( [(1+ki)*(2+ki)]^2);
这就推导出了最后的公式.
推出公式后,我们发现要求出结果,必须将5000000以内的数快速分解质因数并且写成指数的形式.
这个也是一个很费神的工作.首先我们生成一个素数表,范围在sqrt(5000000) = 2237以内即可.这个是不超时的关键,因为如果一个数是质数,只需尝试到开方范围内即可,质因数分解时同理.
然后从最小的素数开始去试除一个数,直到全部分解为止,如果超出sqrt(5000000) 仍未分解出因子,说明这个数一定是质数.
到此为止这个题也就差不多了,确实是一道很经典的题目,需要认真的推敲.做了一下午,现在头晕眼花了,大伙加油!
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <malloc.h>
static int p[5000];
int prime(int a[],int n) //素数筛法
{
int i,j,k,x,num,*b;
n++;
n/=2;
b=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1)*2);
a[0]=2;a[1]=3;num=2;
for(i=1;i<=2*n;i++)
b[i]=0;
for(i=3;i<=n;i+=3)
for(j=0;j<2;j++)
{
x=2*(i+j)-1;
while(b[x]==0)
{
a[num++]=x;
for(k=x;k<=2*n;k+=x)
b[k]=1;
}
}
return num;
}
int cal(int n)
{
int i, ans, back_n, temp;back_n = n;
ans = 1;
for( i=0; i<=2239 && p[i]*p[i]<=n; ++i ){
int k;
if( n%p[i]==0 ){
k=0;
while( n%p[i]==0 ) k++, n/=p[i];
temp =( k+2)*(k+1)/2;
ans *= (temp*temp );
}
}
if( n>1 ) ans *=9;
return ans;
}int main()
{
int n;
int i,j,k;
int num;int p_num = prime(p,3000);
freopen(”input.txt”,”r”,stdin);
freopen(”output.txt”,”w”,stdout);scanf(”%d”, &n);
for (i=0; i<n; i++)
{
scanf(”%d”, &num);
printf(”%dn”, cal(num));
}
return 0;
}