随机抽样问题（蓄水池抽样）

转自：http://wansishuang.iteye.com/blog/443902

随即抽样问题：

 

    要求从N个元素中随机的抽取k个元素，其中N无法确定。

 

  是在 《计算机程序设计与艺术》 中看到的这个题目，书中只给出了解法，没给出证明。

 

  解决方法是叫Reservoir Sampling （蓄水池抽样）

 

 

                       Init : a reservoir with the size： k

 

                       for   i= k+1 to N

                              M=random(1, i);

                              if( M < k)

                                      SWAP the Mth value and ith value

                        end for

 

 

证明：

 

每次都是以 k/i 的概率来选择 
例: k=1000的话， 从1001开始作选择，1001被选中的概率是1000/1001，1002被选中的概率是1000/1002，与我们直觉是相符的。 
 
接下来证明： 
     假设当前是i+1, 按照我们的规定，i+1这个元素被选中的概率是k/i+1，也即第 i+1 这个元素在蓄水池中出现的概率是k/i+1 
     此时考虑前i个元素，如果前i个元素出现在蓄水池中的概率都是k/i+1的话，说明我们的算法是没有问题的。 
    
对这个问题可以用归纳法来证明：k < i <=N 
   1.当i=k+1的时候，蓄水池的容量为k，第k+1个元素被选择的概率明显为k/(k+1), 此时前k个元素出现在蓄水池的概率为 k/(k+1), 很明显结论成立。 
   2.假设当 j=i 的时候结论成立，此时以 k/i 的概率来选择第i个元素，前i-1个元素出现在蓄水池的概率都为k/i。  
      证明当j=i+1的情况： 
      即需要证明当以 k/i+1 的概率来选择第i+1个元素的时候，此时任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/(i+1). 
前i个元素出现在蓄水池的概率有2部分组成, ①在第i+1次选择前得出现在蓄水池中，②得保证第i+1次选择的时候不被替换掉 
       ①.由2知道在第i+1次选择前，任一前i个元素出现在蓄水池的概率都为k/i 
       ②.考虑被替换的概率：   
首先要被替换得第 i+1 个元素被选中(不然不用替换了)概率为 k/i+1，其次是因为随机替换的池子中k个元素中任意一个，所以不幸被替换的概率是 1/k，故 
       前i个元素中任一被替换的概率 = k/(i+1) * 1/k = 1/i+1 
       则没有被替换的概率为:   1 - 1/(i+1) = i/i+1 
综合① ②,通过乘法规则 
得到前i个元素出现在蓄水池的概率为 k/i * i/(i+1) = k/i+1 
  故证明成立