小波变换网文精粹:小波变换和motion信号处理(十三)

小波变换网文精粹:小波变换和motion信号处理(十三)

转自:http://www.kunli.info/2011/02/18/fourier-wavelet-motion-signal-2/

(十三)小波变换意义的深入理解

        还有一个没有解释的问题是,为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormal basis呢?计算方便是一方面,还有一个原因是,如果他们满足这个性质,就满足瑞利能量定理,也就是说,信号的能量,可以完全用每个频域里面的展开部分的能量,也就是他们的展开系数表示:

                    

        到这里,我们对小波变换的形式就讲完了。虽然是用的最简单的哈尔小波为例子,但举一反三即可。我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏:时域频域同时定位。结束之前,再多说几句小波变换的意义。我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormal basis作为例子:

                    

        左边这四个basis组成元素,也就是scaling functions,的系数,表征的是信号的local平均(想想它们和信号的内积形式),而右边的这四个basis组成元素,也就是wavelet functions,的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。得益于此,多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均,等同于做低通滤波,而且,它还能保留因为平均而损失的信号细节,等同于做高通滤波!这样,我们终于可以解释了wavelet function和scaling function背后的物理意义了:wavelet function等同于对信号做高通滤波保留变化细节,而scaling function等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape!

        对小波变换的基础知识,我们就讲到这里。需要注意的是,这只是小波变换最基本最基本的知识,但也是最核心的知识。掌握了这些,代表你对小波变换的物理意义有了一定的了解。但对于小波变换本身的讲解,一本书都不一定能将讲透,还有很多的基础知识我都没有讲,比如如何构建自己的scaling function,选取合适的系数集h[k],并由此构建自己的wavelet functions。所以,如果有深入下去研究的同学,好好买一本书来看吧。而只是希望用小波变换来服务自己的应用的同学,个人觉得这些知识已经足够让你用来起步了。

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