HDU 动态规划（46道题目）倾情奉献

Robberies http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955 
    背包;第一次做的时候把概率当做背包(放大100000倍化为整数):在此范围内最多能抢多少钱  最脑残的是把总的概率以为是抢N家银行的概率之和… 把状态转移方程写成了f[j] = max{f[j],f[j - q[i].v] + q[i].money}(f[j]表示在概率j之下能抢的大洋);
    
    正确的方程是:f[j] = max(f[j],f[j - q[i].money] * q[i].v)  其中,f[j]表示抢j块大洋的最大的逃脱概率,条件是f[j - q[i].money]可达,也就是之前抢劫过;
    始化为:f[ 0 ] = 1 ,其余初始化为 - 1   (抢0块大洋肯定不被抓嘛)
    
最大报销额 http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864 
    又一个背包问题,对于每张发票,要么报销,要么不报销, 0 - 1背包,张数即为背包;
    转移方程:f[j] = max(f[j],f[j - 1 ] + v[i]);
    恶心地方:有这样的输入数据  3  A: 100  A: 200  A: 300
    
最大连续子序列 http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1231
    状态方程:sum[i] = max(sum[i - 1 ] + a[i],a[i]);最后从头到尾扫一边
    也可以写成:
                Max = a[ 0 ];
                Current = 0 ;
                 for (i = 0 ;i < n;i ++ )
                {
                     if (Current < 0 )
                        Current = a[i];
                     else
                        Current += a[i];
                     if (Current > Max)
                        Max = Current;
                }
    
max sum http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1003 
    同上,最大连续子序列    
    
Largest Rectangle http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1506
    对于每一块木板,Area = height[i] * (j - k + 1 )  其中,j <= x <= k,height[x] >= height[i];找j,k成为关键,一般方法肯定超时,利用动态规划,如果它左边高度大于等于它本身,那么它左边的左边界一定满足这个性质,再从这个边界的左边迭代下去
     for (i = 1 ;i <= n;i ++ )
        {            
             while (a[l[i] - 1 ] >= a[i])
                l[i] = l[l[i] - 1 ];
                
        }
    
     for (i = n;i >= 1 ;i -- )
        {
             while (a[r[i] + 1 ] >= a[i])
                r[i] = r[r[i] + 1 ];
        }
    
City Game http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1505
    1506的加强版,把2维转换化成以每一行底,组成的最大面积;(注意处理连续与间断的情况);
    
Bone Collector http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602 
    简单0 - 1背包,状态方程:f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i])
    
Super Jumping  http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1087 
    最大递增子段和,状态方程:sum[j] = max{sum[i]} + a[j]; 其中, 0 <= i <= j,a[i] < a[j]    
    
命运http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2571
    状态方程:sum[i][j] = max{sum[i - 1 ][j],sum[i][k]} + v[i][j];其中1 <= k <= j - 1 ,且k是j的因子    
    
Monkey And Banana     http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1069
    状态方程:f[j] = max{f[i]} + v[j];其中, 0 <= i <= j,w[i] < w[j],h[i] < h[j]    
    
Big Event  in  HDU http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171 
    一维背包,逐个考虑每个物品带来的影响,对于第i个物品: if (f[j - v[i]] == 0 ) f[j] = 0 ;
    其中,j为逆序循环,且j >= v[i]    
    
数塔http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2084
    自底向上:dp[i][j] = max(dp[i + 1 ][j],dp[i + 1 ][j + 1 ]) + v[i][j];    
    
免费馅饼http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1176
    简单数塔
    自底向上计算:dp[i][j] = max(dp[i + 1 ][j - 1 ],dp[i + 1 ][j],dp[i + 1 ][j + 1 ]) + v[i][j];处理边界
    
I Need A Offer http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1203
    简单0 - 1背包,题目要求的是至少收到一份Offer的最大概率,我们得到得不到的最小概率即可,状态转移方程:f[j] = min(f[j],f[j - v[i]] * w[i]);其中,w[i]表示得不到的概率,( 1 - f[j])为花费j元得到Offer的最大概率    
    
FATE http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2159 
    二维完全背包,第二层跟第三层的要顺序循环;( 0 - 1背包逆序循环);状态可理解为,在背包属性为 {m(忍耐度), s(杀怪个数)} 里最多能得到的经验值,之前的背包牺牲体积,这个背包牺牲忍耐度跟个数
    注意: 最后扫的时候 外层循环为忍耐度,内层循环为杀怪个数,因为题目要求出剩余忍耐度最大,没有约束杀怪个数,一旦找到经验加满的即为最优解;
    状态转移方程为: f[j][k] = max(f[j][k],f[j - v[i]][k - 1 ] + w[i]); w[i]表示杀死第i个怪所得的经验值,v[i]表示消耗的忍耐度
    
How To Type http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2577     
    用两个a,b数组分别记录Caps Lock开与关时打印第i个字母的最少操作步骤;
    而对于第i个字母的大小写还要分开讨论:
    Ch[i]为小写: a[i] = min(a[i - 1 ] + 1 ,b[i - 1 ] + 2 );不开灯直接字母,开灯则先关灯再按字母,最后保持不开灯;    b[i] = min(a[i - 1 ] + 2 ,b[i - 1 ] + 2 );不开灯则先按字母再开灯,开灯则Shift + 字母(比关灯,按字母再开灯节省步数),最后保持开灯;
    Ch[i]为大写: a[i] = min(a[i - 1 ] + 2 ,b[i - 1 ] + 2 ); b[i] = min(a[i - 1 ] + 2 ,b[i - 1 ] + 1 )
    
    最后,b[len - 1 ] ++ ,关灯嘛O(∩_∩)O ~      
    
Coins http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844
    类似于HDU1171 Big Event In HDU,一维DP,可达可不达    
    
Beans http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2845 
    横竖分别求一下不连续的最大子段和;
    状态方程: Sum[i] = max(sum[j]) + a[i];其中, 0 <= j < i - 1 ;    
    
Largest Submatrix http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2870 
    枚举a,b,c 最大完全子矩阵,类似于HDU1505  1506     
    
Matrix Swapping II http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2830 
最大完全子矩阵,以第i行为底,可以构成的最大矩阵,因为该题可以任意移动列,所以只要大于等于height[i]的都可以移动到一起,求出height >= height[i]的个数即可,这里用hash + 滚动,先求出height[i]出现的次数,然后逆序扫一遍hash[i] += hash[i + 1 ];    
    
最少拦截系统http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257
    两种做法,一是贪心,从后往前贪;二是DP;
     if (v[i] > max{dp[j]})  ( 0 <= j < len)
    dp[len ++ ] = v[i];    
    
Common Subsequence http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1159 
    经典DP,最长公共子序列
    Len[i][j] = {len[i - 1 ][j - 1 ] + 1 ,(a[i] == b[j]); max(len[i - 1 ][j],len[i][j - 1 ])}
    初始化的优化: 
     for (i = 0 ;i < a;i ++ )
             for (j = 0 ;j < b;j ++ )
                len[i][j] = 0 ;
         for (i = 1 ;i <= a;i ++ ) 
             for (j = 1 ;j <= b;j ++ ) 
                 if (ch1[i - 1 ] == ch2[j - 1 ]) 
                    len[i][j] = len[i - 1 ][j - 1 ] + 1 ;
                 else  
                    len[i][j] = max(len[i - 1 ][j],len[i][j - 1 ]);    
    
★ 搬寝室http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1421 
    状态Dp[i][j]为前i件物品选j对的最优解
    当i = j * 2时,只有一种选择即 Dp[i - 2 ][j - 1 ] + (w[i] - w[i - 1 ]) ^ 2
    当i > j * 2时,Dp[i][j]  =  min(Dp[i - 1 ][j],Dp[i - 2 ][j - 1 ] + (w[j] - w[j - 1 ]) ^ 2 )    
    
★ Humble Numbers http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1058 
    如果一个数是Humble Number,那么它的2倍,3倍,5倍,7倍仍然是Humble Number
    定义F[i]为第i个Humble Number
    F[n] = min( 2 * f[i], 3 * f[j], 5 * f[k], 7 * f[L]), i,j,k,L在被选择后相互移动
    (通过此题理解到数组有序特性)    
    
★ Doing Homework Again http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1789 
    这题为贪心,经典题;
    切题角度,对于每个任务要么在截至日期前完成要么被扣分;所以考虑每个人物的完成情况即可;由于每天只能完成一个任务,所以优先考虑分值较大的任务,看看该任务能不能完成,只要能完成,即使提前完成,占了其他任务的完成日期也没关系,因为当前任务的分值最大嘛,而对于能完成的任务能拖多久就拖多久,以便腾出更多时间完成其他任务;    
    
How Many Ways http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1978 
    两种D法,一是对于当前的点,那些点可达;二是当前点可达那些点;
    明显第二种方法高,因为第一种方法有一些没必要的尝试;
    Dp[i][j] += Dp[ii][jj]; (map[ii][jj] >= 两点的曼哈顿距离)
    值得优化的地方,每两点的曼哈顿距离可能不止求一次,所以预处理一下直接读取    
    
珍惜现在 感恩生活http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191 
    每个物品最多可取n件,多重背包;
    利用二进制思想,把每种物品转化为几件物品,然后就成为了0 - 1背包    
    
Piggy - Bank http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114 
    完全背包;常规背包是求最大值,这题求最小值;
    只需要修改一下初始化,f[ 0 ] = 0 ,其他赋值为 + ∞即可;
    状态转移方程:f[i][V] = max{f[i - 1 ][V],f[i - 1 ][V - k * v[i]] + k * w[i]},其中0 <= k * v[i] <= V
    
★ Max Sum Plus Plus http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024
     1 . 对于前n个数, 以v[n]为底取m段: 
    当n == m时,Sum[m][n] = Sum[m - 1 ][n - 1 ] + v[n],第n个数独立成段;
当n > m时, Sum[m][n] = max{Sum[m - 1 ][k],Sum[m][n - 1 ]} + v[n]; 其中,m - 1 <= k < j,解释为,v[n]要么加在Sum[m][n - 1 ],段数不变,要么独立成段接在前n - 1个数取m - 1段所能构成的最大值后面
2 . 空间的优化:
        通过状态方程可以看出,取m段时,只与取m - 1段有关,所以用滚动数组来节省空间
    
FatMouse’s Speed http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1160 
    要求:体重严格递增,速度严格递减,原始顺序不定
    按体重或者速度排序,即顺数固定后转化为最长上升子序列问题
    Dp[i]表示为以第i项为底构成的最长子序列,Dp[i] = max(dp[j]) + 1 ,其中0 <= j < i , w[i] > w[j] && s[i] < s[j] 用一个index数组构造最优解:记录每一项接在哪一项后面,最后用max找出最大的dp[ 0 …n],dex记录下标,回溯输出即可    
    
Cstructing Roads http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1025 
    以p或者r按升序排列以后,问题转化为最长上升子序列
    题目数据量比较大,只能采取二分查找,n * log(n)的算法
用一个数组记录dp[]记录最长的子序列,len表示长度,如果a[i] > dp[len], 则接在后面,len ++ ; 否则在dp[]中找到最大的j,满足dp[j] < a[i],把a[i]接在dp[j]后面;    
    
FatMouse Chees http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1078 
    Dp思想,用记忆化搜索;简单题,处理好边界;    
    
To the Max http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081
    最大子矩阵
    把多维转化为一维的最大连续子序列;(HDU1003)    
    
龟兔赛跑http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2059 
未总结    
    
★ Employment Planning http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1158 
    状态表示:    Dp[i][j]为前i个月的留j个人的最优解;Num[i] <= j <= Max{Num[i]};
                j > Max{Num[i]}之后无意义,无谓的浪费 记Max_n = Max{Num[i]};
    Dp[i - 1 ]中的每一项都可能影响到Dp[i],即使Num[i - 1 ] << Num[i]
    所以利用Dp[i - 1 ]中的所有项去求Dp[i];
    对于Num[i] <= k <= Max_n,    当k < j时, 招聘;
                            当k > j时, 解雇  然后求出最小值
    Dp[i][j] = min{Dp[i - 1 ][k…Max_n] + (招聘,解雇,工资);    
    
Dividing http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1059 
    一维Dp  Sum为偶数的时候判断Dp[sum / 2 ]可不可达    
    
Human Gene Factions http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1080 
状态转移方程:
f[i][j] = Max(f[i - 1 ][j - 1 ] + r[a[i]][b[j]], f[i][j - 1 ] + r[‘ - ‘][b[j]],f[i - 1 ][j] + r[a[i]][‘ - ‘]);

★ Doing Homework http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1074 
    这题用到位压缩;
    那么任务所有的状态有2 ^ n - 1种
    状态方程为:Dp[next] = min{Dp[k] + i的罚时} 其中,next = k + ( 1 << i),k要取完满足条件的值 k >> i的奇偶性决定状态k
具体实现为: 对每种状态遍历n项任务,如果第i项没有完成,则计算出Dp[next]的最优解    
    
Free DIY Tour http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1224 
    简单的数塔Dp,考察的是细节的处理;
    Dp[i] = Max{Dp[j]} + v[i]  其中j -> i为通路;
    v[n + 1 ]有没有初始化,Dp数组有没有初始化
    这题不能用想当然的”最长路”来解决,这好像是个NP问题 解决不了的
    
    
重温世界杯http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1422 
这题的状态不难理解,状态表示为,如果上一个城市剩下的钱不为负,也就是没有被赶回杭电,则再考虑它对下一个城市的影响;如果上一个城市剩下的前加上当前城市的前大于当前城市的生活费,那么Dp[i] = Dp[i - 1 ] + 1 ;
值得注意的而是这题的数据为100000;不可能以每个城市为起点来一次Dp,时间复杂度为n ^ 2 ;足已超时;
我是这样处理的,在保存的数据后面再接上1…n的数据,这样扫描一遍的复杂度为n;再加一个优化,当Dp[i] == n时,也就是能全部游完所有城市的时候,直接break;

Pearls http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1300 
    Dp[i] = min{Dp[j] + V},   0 <= j < i, V为第j + 1类珠宝到第i类全部以i类买入的价值;    
    
Zipper http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1501
    Dp[i][j] =      
    
★Fast Food http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1227
    这里需要一个常识:在i到j取一点使它到区间每一点的距离之和最小,这一点为(i + j) / 2用图形即可证明;
    Dp[i][j] = max{Dp[i - 1 ][k] + cost[k + 1 ][j]  其中,(i - 1 ) <= k < j状态为前j个position建i个depots    
    
Warcraft http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3008
    比赛的时候这道DP卡到我网络中心停电 !!!  卧槽 ~  
    因为你没有回血效应,所以你挂掉的时间是一定的;
    用Dp[i][j]表示第i秒剩余j个单位的MP时怪物所剩的血量; 注意必须是剩余,也就是说,初始化的时候,DP[ 0 ][ 100 ] = 100 ;  其他Dp[ 0 ]状态都不合法,因为没有开战的时候你的MP是满的
    状态转移方程为:
    Dp[i + 1 ][j - sk[k].mp + x] = min(Dp[i + 1 ][j - sk[k].mp + x],Dp[i][j] + sk[k].at; 释放第K种技能,物理攻击可以看成是at = 1 ,mp = 0  的魔法;
    
Regular Words http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1502 
    F[a][b][c] = F[a - 1 ][b][c] + F[a][b - 1 ][c] + F[a][b][c - 1 ];
    a >= b >= c;    
    
Advanced Fruits http: // acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1503 
    最长公共子序列的加强版