LCA 转 RMQ算法 【总结】
首先，在你看这个算法之前，要确保你理解了RMQ的 ST 算法。
但是不理解没关系啊，提供通道：
点我
声明：这是方便我以后复习用的，所以总结不是特别详细。
LCA - 最近公共祖先：在有根树中，两个节点u和v的公共祖先中距离最近的那个点。
上图理解：
如图，我们想要求出LCA（4，7），LCA（8，6），LCA（5，8）。
用LCA转RMQ思想 如此实现。
一：按从根DFS访问的顺序得到顶点序列vs[ i ] 和 对应的深度depth[ i ]（两者下标是一一对应的）。对于每个顶点 v ，记其在vs中首次出现的下标为id[ v ]。
vs[ i ] 代表第i次DFS遍历的节点编号
depth[ i ]代表第i次DFS遍历的节点深度
id[ i ]代表节点 i 在vs中第一次出现的下标。
这里运用了时间戳dfs_clock 记录DFS次数。
代码实现：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define MAXN 1010
#define MAXM 100000
using namespace std;
struct Edge
{
int from, to, next;
};
Edge edge[MAXM];
int head[MAXN], edgenum;
int vs[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的编号
int depth[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的深度
int id[MAXN];//id[i] 记录在vs数组里面 i节点第一次出现的下标
int dfs_clock;//时间戳
int N, M;//点数 边数
int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组 以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标
void init()
{
edgenum = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void addEdge(int u, int v)
{
Edge E = {u, v, head[u]};
edge[edgenum] = E;
head[u] = edgenum++;
}
void getMap()
{
int a, b;
while(M--)
scanf("%d%d", &a, &b),
addEdge(a, b), addEdge(b, a);
}
void DFS(int u, int fa, int d)//当前遍历点以及它的父节点 遍历点深度
{
id[u] = dfs_clock;
vs[dfs_clock] = u;
depth[dfs_clock++] = d;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(v == fa) continue;
DFS(v, u, d+1);
vs[dfs_clock] = u;//类似 回溯
depth[dfs_clock++] = d;
}
}
void find_depth()
{
dfs_clock = 1;
memset(vs, 0, sizeof(vs));
memset(id, 0, sizeof(id));
memset(depth, 0, sizeof(depth));
DFS(1, -1, 0);//遍历
}
void input()
{
printf("下标: ");
for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)
printf("%d ", i);
printf("\n");
printf("vs: ");
for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)
printf("%d ", vs[i]);
printf("\n");
printf("depth: ");
for(int i = 1; i < dfs_clock; i++)
printf("%d ", depth[i]);
printf("\n");
printf("下标: ");
for(int i = 1; i <= N; i++)
printf("%d ", i);
printf("\n");
printf("id: ");
for(int i = 1; i <= N; i++)
printf("%d ", id[i]);
printf("\n");
}
int main()
{
while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
{
init();
getMap();
find_depth();//DFS遍历整个树 求出所需要的信息
input();//输出查找信息
}
return 0;
}
输入数据：
8 7 1 2 1 3 2 4 2 5 3 6 5 7 5 8
输出：（没有对齐）
模拟上图得如下结果：
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| vs | 1 | 3 | 6 | 3 | 1 | 2 | 5 | 8 | 5 | 7 | 5 | 2 | 4 | 2 | 1 |
| depth | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | 0 |
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| id | 1 | 6 | 2 | 13 | 7 | 3 | 10 | 8 |
二：LCA（u，v）就是访问u之后到访问v之前所经过顶点中离根最近的点。
假设id[ u ] <= id[ v ]，那么有
LCA（u，v）= vs[ id[ u ] <= i <= id[ v ]中depth[ i ]最小的 i ]。
对于这个RMQ可以这样实现：
RMQ_init(dfs_clock - 1);
int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组 以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标
void RMQ_init(int NN)//预处理 区间最小值
{
for(int i = 1; i <= NN; i++)
dp[i][0] = i;
for(int j = 1; (1<<j) <= NN; j++)
{
for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= NN; i++)
{
int a = dp[i][j-1];
int b = dp[i + (1<<(j-1))][j-1];
if(depth[a] <= depth[b])//比较的下标所对应的值
dp[i][j] = a;//更新下标
else
dp[i][j] = b;
}
}
}
int query(int L, int R)
{
//查询L <= i <= R 里面使得depth[i]最小的值 返回对应下标
int k = 0;
while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k++;
int a = dp[L][k];
int b = dp[R - (1<<k) + 1][k];
if(depth[a] <= depth[b])
return a;//返回下标
else
return b;
}
int LCA(int u, int v)
{
int x = id[u];//比较大小 小的当作左区间 大的当作右区间
int y = id[v];
if(x > y)
return vs[query(y, x)];
else
return vs[query(x, y)];
}
练习：给你N个点、M条边和Q次查询（保证是一棵树）。查询a b 的LCA。
代码实现：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define MAXN 1010
#define MAXM 100000
using namespace std;
struct Edge
{
int from, to, next;
};
Edge edge[MAXM];
int head[MAXN], edgenum;
int vs[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的编号
int depth[MAXN<<1];//第i次DFS访问节点的深度
int id[MAXN];//id[i] 记录在vs数组里面 i节点第一次出现的下标
int dfs_clock;//时间戳
int N, M, Q;//点数 边数 查询数
int dp[MAXN<<1][20];//dp[i][j]存储depth数组 以下标i开始的，长度为2^j的区间里 最小值所对应的下标
void init()
{
edgenum = 0;
memset(head, -1, sizeof(head));
}
void addEdge(int u, int v)
{
Edge E = {u, v, head[u]};
edge[edgenum] = E;
head[u] = edgenum++;
}
void getMap()
{
int a, b;
while(M--)
scanf("%d%d", &a, &b),
addEdge(a, b), addEdge(b, a);
}
void DFS(int u, int fa, int d)//当前遍历点以及它的父节点 遍历点深度
{
id[u] = dfs_clock;
vs[dfs_clock] = u;
depth[dfs_clock++] = d;
for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
{
int v = edge[i].to;
if(v == fa) continue;
DFS(v, u, d+1);
vs[dfs_clock] = u;//类似 回溯
depth[dfs_clock++] = d;
}
}
void find_depth()
{
dfs_clock = 1;
memset(vs, 0, sizeof(vs));
memset(id, 0, sizeof(id));
memset(depth, 0, sizeof(depth));
DFS(1, -1, 0);//遍历
}
void RMQ_init(int NN)//预处理 区间最小值
{
for(int i = 1; i <= NN; i++)
dp[i][0] = i;
for(int j = 1; (1<<j) <= NN; j++)
{
for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= NN; i++)
{
int a = dp[i][j-1];
int b = dp[i + (1<<(j-1))][j-1];
if(depth[a] <= depth[b])
dp[i][j] = a;
else
dp[i][j] = b;
}
}
}
int query(int L, int R)
{
//查询L <= i <= R 里面使得depth[i]最小的值 返回对应下标
int k = 0;
while((1<<(k+1)) <= R-L+1) k++;
int a = dp[L][k];
int b = dp[R - (1<<k) + 1][k];
if(depth[a] <= depth[b])
return a;
else
return b;
}
int LCA(int u, int v)
{
int x = id[u];//比较大小 小的当作左区间 大的当作右区间
int y = id[v];
if(x > y)
return vs[query(y, x)];
else
return vs[query(x, y)];
}
void solve()
{
int a, b;
while(Q--)
{
scanf("%d%d", &a, &b);
printf("LCA(%d %d) = %d\n", a, b, LCA(a, b));
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &Q) != EOF)
{
init();
getMap();
find_depth();//DFS遍历整个树 求出所需要的信息
RMQ_init(dfs_clock - 1);
solve();
}
return 0;
}
8 7 3 1 2 1 3 2 4 2 5 3 6 5 7 5 8 4 7 8 6 5 8
输出：
LCA(4 7) = 2 8 6 LCA(8 6) = 1 5 8 LCA(5 8) = 5
毕竟是菜鸟，不好之处请见谅。当然若有不对的地方欢迎指正。
累死了。。。