【函数式】Monads模式初探——Functor

函子与范畴

函子（functor）是从一个范畴到另一个范畴的转换，并且其亦可转换/保持态射（morphism）。
一个态射是从一个范畴里的一个值到同一个范畴里的另一个值的变换。在猫的范畴的例子里，一个态射好比一个盒子，能够把黯淡无光的猫转化为一个霓虹闪耀的猫。在类型的范畴里（计算机科学常用的范畴），一个态射是一个把某类型转化为另一个类型的函数。
函子是可以把猫转化为狗的东西（不同范畴的转换）。函子可以把暗淡的猫转换成暗淡的狗，光彩的猫转换成光彩的狗。函子还可以连态射都转换过去，这样可以把暗淡的狗转化为光彩的狗。

图中，下面的圈子表示所有的类型组成的范畴。里面包括标准的String、Double和其他Scala能定义的类型。函子F是Scala里的一个类型构造器。对于一个范畴中的任意类型T，可以把该类型置于类型构造器F[_]中，从而得到一个新类型F[T]。

对函子的描述

函子本质上是范畴之间的转换。

上图表示范畴C到范畴D的函子。图中，对象A和B被转换到了范畴D中同一个对象，因此，态射g就被转换成了一个源对象和目标对象相同的态射（不一定是单位态射），而且id_A和id_B变成了相同的态射。对象之间的转换是用浅黄色的虚线箭头表示，态射之间的转换是用蓝紫色的箭头表示。

范畴之间的转换必须在转换时保留所有的态射才能称为函子转换。也就是说，如果在第一个范畴有个操作类型的函数，那么我们也应该有个转换后的函数能够操作转换后的类型。比如说，如果我们有个吧String转换为Int的函数，那么我们也应该能够把F[String]转换成F[Int]，这正是map方法所提供的功能。

trait Functor[F[_]] {
  def apply[A](x: A): F[A]
  def map[A, B](x: F[A])(f: A => B): F[B]
}

apply方法的作用——对于任意类型A，一个函子能够在新范畴里构造一个类型F[A]。
map方法的作用——给定一个转换后的类型F[A]和一个在原范畴里的态射A => B，能够创建一个F[B]类型的结果。也就是说，我们有个新函数能够接受F[A]，返回F[B]。

简单的说，函子是实现了map方法的数据类型。
举例来说，

trait Functor[F[_]] {
  def fmap[A, B](x: F[A])(f: A => B): F[B]
}

object ListFunctor extends Functor[List] {
  def fmap[A, B](list: List[A])(f: A => B): List[B] = list map f
}

val l1 = List(1, 2, 3)
val result = ListFunctor.fmap(l1)(i => i+1)
println(result)
// print is
// List(2, 3, 4)

函子的形象演示

假设有一个容器（container），这里的容器可以认为是一种上下文（context）或者是为函数提供的计算上下文（computational context）。
在图中表示为一个盒子。当一个元素被上下文包裹，我们不能简单的对该元素应用一般的运算方法，于是需要使用map函数（Haskell中称为fmap）。

map函数知道如何将普通函数应用到一个被上下文包裹的元素上。

函子（functor）是定义了如何应用map的类型类（typeclass）。

如果我们要将普通函数应用到一个有盒子上下文包裹的值，那么我们首先需要定义一个叫Functor的数据类型，在这个数据类型中需要定义如何使用map或fmap来应用这个普通函数。

函子内部工作原理可以认为是这样的：

1. 将值从上下文盒子中解救出来
2. 将外部指定的函数(+3)应用到这个值上，得到一个新的值(5)
3. 再将这个新值放入到上下文盒子中

下图显示了如何将一个普通函数应用到值集合，不是单个值，而是值的集合数组中，图中数组函子将数组一个个打开（遍历），然后分别将普通函数应用到这些元素中，最后返回一个新的集合值。

补充：高阶类型

基本泛型：

如果类型参数也是一个泛型（类型构造器）：

对类型的归纳：

类型（type）是对数据的抽象，而高阶类型（higher-kinded type）是对类型的抽象：

参考资料

函数编程中functor和monad的形象解释
深入理解Scala
理解高阶类型
Scala和范畴论 – 对Monad的一点认识

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