二分检索
二分检索
概述
二分检索(Binary Search)也叫二分查找，是应用于有序表上的一种检索方法。二分检索的思想是：由于序列已经有序，故不需要顺序遍历，每次只需和序列中间位置的元素进行比较即可，以此确定下次查找的位置。显然每次都可以排除一半的元素，很高效。
伪代码
BinarySearch(Array, key)
1.low=0,high-n-1;
2.while(low<=high)
3. mid=(low+high)/2;
4. if(key<array[mid])
5. high=mid-1;
6. else if(key>array[mid])
7. low=mid+1;
8. else
9. printf("查找成功！");
10. printf("查找失败！");
一个二分检索的例子
有序序列 2 5 7 9 12 15
下标 0 1 2 3 4 5
(i)查找 7
初始范围 low=0; high=5
第一次比较 范围[0,5]
mid=(low+high)/2=2;
array[2]=7
5<7，故 high=mid-1;
第二次比较 范围[0,1]
mid=(low+high)/2=0;
array[0]=2
5>2，故 low=mid+1;
第三次比较 范围[1,1]
mid=(low+high)/2=1;
array[1]=7
查找成功！
(ii)查找 6
初始范围 low=0; high=5
第一次比较 范围[0,5]
mid=(low+high)/2=2;
array[2]=7
6<7，故 high=mid-1;
第二次比较 范围[0,1]
mid=(low+high)/2=0;
array[0]=2
6>2，故 low=mid+1;
第三次比较 范围[1,1]
mid=(low+high)/2=1;
array[1]=7
6<7，故 high=mid-1;
此时 low=1, high=0; 不符合继续查询的条件，查找失败！
下面直接用完整的实例给出二分检索在两种查询区间下的代码：
代码
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
/*
二分检索方法一
前提：序列已经从小到大排序
检索区间是[low,high]
*/
bool BinarySearch1(int array[], int n, int key)
{
if (array && n > 0)
{
int low, high, mid;
low = 0, high = n - 1;
//查找区间[low,high]，区间不同，high的变化也不同
while (low <= high)
{
/*
这种写法既高效，又可有效的避免溢出问题
注意：右移运算符的优先级小于加法运算，所以需加括号
*/
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key < array[mid])
high = mid - 1;
else if (key > array[mid])
low = mid + 1;
else//相等，则查找成功
return true;
}
}
//序列不存在或查找失败
return false;
}
/*
二分检索方法二
前提：序列已经从小到大排序
检索区间是[low,high)
*/
bool BinarySearch2(int array[], int n, int key)
{
if (array && n > 0)
{
int low, high, mid;
//查找区间[low,high)
low = 0, high = n;
while (low < high)
{
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key < array[mid])
high = mid;
else if (key > array[mid])
low = mid + 1;
else
return true;
}
}
return false;
}
//打印
void print(int array[], int n)
{
if(array && n>0)
{
int i;
for (i = 0; i < n; i++)
printf("%4d",array[i]);
printf("\n");
}
}
int main()
{
printf("***二分检索***by David***\n");
int array[] = {2,5,7,9,12,15};
int n = sizeof(array) / sizeof(array[0]);
printf("原序列\n");
print(array, n);
int key;
key = 7;
printf("查找 %d\n",key);
printf("方法一：");
BinarySearch1(array, n, key) ? printf("查找成功！\n") : printf("查找失败！\n");
printf("方法二：");
BinarySearch2(array, n, key) ? printf("查找成功！\n") : printf("查找失败！\n");
printf("\n");
key = 6;
printf("查找 %d\n", key);
printf("方法一：");
BinarySearch1(array, n, key) ? printf("查找成功！\n") : printf("查找失败！\n");
printf("方法二：");
BinarySearch2(array, n, key) ? printf("查找成功！\n") : printf("查找失败！\n");
system("pause");
return 0;
}
运行
有时需要返回查询的下标，这时候代码可以这样写
/*二分检索
查找成功，返回下标
否则，返回-1
查询区间[low, high]
*/
int BinarySearch(int array[], int n, int key)
{
if (array && n > 0)
{
int low, high, mid;
//查找区间[low,high]
low = 0, high = n - 1;
while (low <= high)
{
mid = low + ((high - low) >> 1);
if (key < array[mid])
high = mid - 1;
else if (key > array[mid])
low = mid + 1;
else//返回下标
return mid;
}
}
//查找失败
return -1;
}
可以在while循环中插入一些代码打印low和high，观察low和high的变化，以加深对循环条件的认识。
优化
试想：如果待查找的元素在数组中多次出现，如何让返回的是第一次出现时的位置呢？
可以验证，以上的二分检索代码不能满足这种要求，它返回的可能是所有可能位置中的任何一个。
在《编程珠玑》中给出了满足这种要求的代码，如下：
int BSearch(int *arr, int n, int key)
{
if (NULL == arr || n <= 0)
return -1;
int l, u, m, p;
//find in (l, u)
l = -1, u = n;
while (l + 1 != u)
{
m = (l + u) / 2;
//invariant: arr[l] < key <= arr[u]
if (arr[m] < key) l = m;
else u = m;
}
p = u;
if (p >= n || arr[p] != key) p = -1;
return p;
}
它假设 n >= 0 且 arr[-1] < key <= arr[n]，当然，arr[-1]和arr[n]并不会被访问。如果key在数组中，则key第一次出现的位置就是u。
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