hdu2546 饭卡

饭卡

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Problem Description

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

 

Input

多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

 

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    -45
32
   
   
   
   

 

这道题就是01背包，不过含了点贪心思想。即价格最大的物品，不要用来装背包。

如何证明呢？设想价格最大的物品用来背包了，当然背包容量是c-5，也就是说最优装法含有价格最大的物品，此时无非两种情况，一种是物品一件不剩，另外一种还有剩余。

为方便说明，设价格最大的物品的价格为val。

当物品一件不剩时：考虑另外一种装法，背包容量是c-5，价格最大的物品不用来背包，那么最优装法的总价格减少val，那价格最大的物品，是用做最后一件购买的，因为此时剩余钱数>=5。这样两种方式最后的剩余钱数都是一样的。

当物品还有剩余时：假设剩余的是q1，q2，q3……qn，并且q1>q2>q3>……>qn.可以肯定这些物品如果继续放入背包，那么背包就要超容量了。因为之前假设是最优装法，剩余的物品自然装不下了，否则最优装法里含有qi。又根据假设，背包里有价格为val的物品，这种情况下最大总价格=背包内的总价格+q1，这个是大于等于c-5的，前面的（剩余的物品自然装不下了）就是说明这个问题。现在用q1替换val，背包内的总价格减少了val-q1，肯定还是小于等于c-5的，这时候选择val购买，最大总价格和之前一种方式一样。但是不要忘了，我用q1替换val的，假设q1+q2<=val，那么完全可以用q1，q2替换val，最后再购买val，此时总价格增大了q2，也就是剩余钱数更小了。

无论哪种情况，价格最大的物品不用来装背包，而是作为最后一件购买，答案不会差于用来装背包的情况。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int dp[1010],a[1010];
int main()
{
    int n,c;
    while(scanf("%d",&n),n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",a+i);
        scanf("%d",&c);
        if(c<5) {printf("%d\n",c);continue;}
        int maxx=0,id;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(a[i]>maxx) {maxx=a[i];id=i;}
        c-=5;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=c;j>=a[i];j--){
                if(id==i) continue;
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);
            }
        int ans=c+5-dp[c]-maxx;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}