Havel–Hakimi algorithm

Havel-Hakimi algorithm

可图：给定一个由非负整数数构成的列表(list)，求解是否存在一个简单图，该图顶点的度数形成的列表与给定的列表相同。如果这样图是存在的。我们称该列表是可图的(graphic)。

        Havel-Hakimi 算法就是用于判断一个序列是否可图的。他建立于以下定理（Havel-Hakimi 定理）

        已知非增列表S = {d[1],d[2],d[2],....d[n]}，di∈N，则S可图的充分必要条件是S' = {d[2]-1,d[3]-1,...,d[d[1]+1]-1,...,d[n]},S'没有负数且可图。

        搜索了好久都没有找到严格的证明，下面只给出一个理解的方法，严格证明以后补上。

        必要性（<-）：若S'可图，那么新增一个度数为的d[1]的点，向S'中部分边连线，必然可以将S'补成S。

        充分性（->）：若S可图，设S对应的图是G，

        1.若G中存在E = {edge|edge = (1,2),(1,3)...(1,d[1]+1)}中的每条边，只需删除这些边即可。

        2.若这些边中的某些不存在，比如对于j>d[1]+1>i图中存在（1,j）,但不存在（1，i）,由于d[i]>=d[j],因此必有k满足图中存在edge(i,k),但无（j,k),我们只需(1,j)->(1,i);(i,k)->(j,k)，这一变化不会导致i,j的度数改变但能将第二种情况变成第一种情况。

         

        这条定理给出了一个将图的规模降低的方法，我们还需要一个边界来判断一个规模较小的图是否可图。这里我们可以想象，对于每个度数为N的点，该图中至少要有N个其余的点，且每个点的度数都>1。有了这两条，我们就可以提出一个算法。

        对于给出的一个序列，

        1.将序列按照非升序排序，

        2.若序列中出现了负数或序列中元素的个数小于d[1]+1,则退出，报告失败

        3.删除d[1],将d[2]...d[2+d[1]]的所有元素减一

        4.回到1

其实还可以给出一个基于优先队列的实现版本，亲测可用

        1.将序列中所有非零元素入队（pri_que）

        2.将队首元素出队，记为A，若此时pri_que.size()<A,则退出，报告失败

        3.否则从队列中弹出A个元素。

        4.将这A个元素减一后的非零元素再次入队。

        5.若队列非空，回到2，否则退出报告失败。

具体可以去做一下POJ1659