【数据结构】时间复杂度总结

算法复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

时间复杂度

计算方法

1.一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比，所以 f(n) 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的同 数量级（它的同数量级有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))

例：算法：

for (i=1; i<=n; ++i)
{
    for (j=1; j<=n; ++j)
    {
        c[i][j] = 0; //该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次
        for (k=1; k<=n; ++k)
            c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; //该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次
    }
}

则有 T(n) = n 的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

则有 f(n) = n的三次方，然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c

则该算法的时间 复杂度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如 快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

分类

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(  

),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

关于对其的理解

《数据结构（C语言版）》[1]   ------严蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话" 整个算法的执行时间与基本操作重复执行的次数成正比。"

基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O(f(n))

如果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时间量度，也就是算法执行的时间。

而该页对“语句频度”也有定义：指的是该语句重复执行的次数。

如果是基本操作所在语句重复执行的次数，那么就该是f(n)。

上边的n都表示的问题规模。