数据结构与算法面试题80道(18)

18:

题目:n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,

每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数字)

当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

July:我想,这个题目,不少人已经 见识过了。

 

典型的约瑟夫环

 

 

首先:定义最初的n个数字(0,1,…,n-1)中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。 在这n个数字中,第一个被删除的数字是m%n-1,为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1,并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中,k+1排到最前面,从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0开始的连续序列),因此该函数不同于前面函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m),所以   f(n,m)=f’(n-1,m)   。
  然后:来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射,映射的结果是形成一个从0到n-2的序列:

 

  k+1     ->     0 
  k+2     ->     1 
  … 
  n-1     ->     n-k-2 
  0        ->     n-k-1 
  … 
  k-1     ->     n-2 

 

  1)把这个映射定义为p,则p(x)= (x-k-1)%n,即如果映射前的数字是x,则映射后的数字是(x-k-1)%n。

 

  2)对应的逆映射是p逆(x)=(x+k+1)%n,即如果映射后的数字是x,则映射前的数字是(x-k-1)%n。

 

  由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式,都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则,映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p逆 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=m%n-1代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。 
  经过上面复杂的分析,我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字,并可以依此类推。当n=1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:

 

                0                           n=1 
    f(n,m)={ 
                [f(n-1,m)+m]%n          n>1 

 

递归实现

#include<iostream>
using namespace std;
int round(int n,int m){
    if(n==1) return 0;
    else (round(n-1,m)+m)%n;
}

int main(){
    cout<<round(5,4)<<endl;
    return 0;
}

 

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