也谈压缩感知（compressive sensing）

CS framework：三个核心公式

压缩感知框架所要解决的是信号采样问题，如一个 N 维的信号 x∈RN×1 ，与传统的信号采样的方法不同，我们不是对 x 直接进行 N 次采样，而是对其进行 M 次观测（已知 M<N ）。这可表示为如下的欠定系统：

y=Φx

y∈RN×1 就是所谓的观测向量（measured vector）， Φ∈RM×N 是随机观测矩阵（random measurement matrix）。

压缩感知的理论要求，在给定观测值 y 和观测矩阵 Φ 的条件下，要想唯一地重建出原始信号 x ， x 必须在某一给定的一组基 Ψ 下是稀疏的。这意味着：

x=Ψs

s 就是所谓的 K−sparse ，也即 s 中最多有 K 个显著不为零的元素。基（basis） Ψ 可以是完备的（complete），也即 Ψ∈RN×N ，也可以是超完备的（overcomplete），也即 Ψ∈RN×N1 ，其中 N<N1 。由以上两等式可得：

y=As

其中 A=ΦΨ 。

单观测向量（SMV） vs 多观测向量（MMVs）

因为只有一个观察向量 y ，以上问题又被称作单观测向量问题（SMV，Single Measurement Vector）在压缩感知的理论体系中。

有单观测向量问题，自然也就有多观测向量问题（MMVs，Multiple Measurement Vectors），其要解决的问题是，从 L 个观察向量的集合 {yi}i=1,2,⋯,L 中重建 L 个稀疏向量的集合 {si}i=1,2,⋯,L 。