RANSAC

分类： 图像处理 2012-09-24 10:00  3979人阅读  评论(2)  收藏  举报

算法 random 测试 null 工作

大概太久没更新了，压力就越大了，工作比较忙，人比较懒，写一篇高质量的文章还是比较耗时间的，这样吧，以后就发一些我觉得比较实用的东西吧，就那么一个小片段，这样我也比较有时间，比较有动力，假如你有什么建议可以留言。

今天介绍的这个东西RANSAC是前不久接触到的东西，最网上的资料进行总结结合自己的实际应用给大家讲讲我的理解。

RANSAC是“RANdom SAmple Consensus（随机抽样一致）”的缩写。它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。该算法最早由Fischler和Bolles于1981年提出。

RANSAC的基本假设是：
（1）数据由“局内点”组成，例如：数据的分布可以用一些模型参数来解释；
（2）“局外点”是不能适应该模型的数据；
（3）除此之外的数据属于噪声。
局外点产生的原因有：噪声的极值；错误的测量方法；对数据的错误假设。
RANSAC也做了以下假设：给定一组（通常很小的）局内点，存在一个可以估计模型参数的过程；而该模型能够解释或者适用于局内点。

 

一、示例
一个简单的例子是从一组观测数据中找出合适的2维直线。假设观测数据中包含局内点和局外点，其中局内点近似的被直线所通过，而局外点远离于直线。简单的最小二乘法不能找到适应于局内点的直线，原因是最小二乘法尽量去适应包括局外点在内的所有点。相反，RANSAC能得出一个仅仅用局内点计算出模型，并且概率还足够高。但是，RANSAC并不能保证结果一定正确，为了保证算法有足够高的合理概率，我们必须小心的选择算法的参数。

二、概述
RANSAC算法的输入是一组观测数据，一个可以解释或者适应于观测数据的参数化模型，一些可信的参数。
RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：
1.有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
2.用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
3.如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
4.然后，用所有假设的局内点去重新估计模型，因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
5.最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
这个过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

三、算法

      伪码形式的算法如下所示：
输入：
data —— 一组观测数据
model —— 适应于数据的模型
n —— 适用于模型的最少数据个数
k —— 算法的迭代次数
t —— 用于决定数据是否适应于模型的阀值
d —— 判定模型是否适用于数据集的数据数目
输出：
best_model —— 跟数据最匹配的模型参数（如果没有找到好的模型，返回null）
best_consensus_set —— 估计出模型的数据点
best_error —— 跟数据相关的估计出的模型错误

iterations = 0
best_model = null
best_consensus_set = null
best_error = 无穷大
while ( iterations < k )
maybe_inliers = 从数据集中随机选择n个点
maybe_model = 适合于maybe_inliers的模型参数
consensus_set = maybe_inliers

for ( 每个数据集中不属于maybe_inliers的点 ）
if ( 如果点适合于maybe_model，且错误小于t ）
将点添加到consensus_set
if （ consensus_set中的元素数目大于d ）
已经找到了好的模型，现在测试该模型到底有多好
better_model = 适合于consensus_set中所有点的模型参数
this_error = better_model究竟如何适合这些点的度量
if ( this_error < best_error )
我们发现了比以前好的模型，保存该模型直到更好的模型出现
best_model =  better_model
best_consensus_set = consensus_set
best_error =  this_error
增加迭代次数
返回 best_model, best_consensus_set, best_error

RANSAC算法的可能变化包括以下几种：
（1）如果发现了一种足够好的模型（该模型有足够小的错误率），则跳出主循环。这样可能会节约计算额外参数的时间。
（2）直接从maybe_model计算this_error，而不从consensus_set重新估计模型。这样可能会节约比较两种模型错误的时间，但可能会对噪声更敏感。

其实核心就是随机性和假设性。随机性用于减少计算了，那个循环次数就是利用正确数据出现的概率。所谓的假设性，就是说随机抽出来的数据我都认为是正确的，并以此去计算其他点，获得其他满足变换关系的点，然后利用投票机制，选出获票最多的那一个变换。

 

四、参数
我们不得不根据特定的问题和数据集通过实验来确定参数t和d。然而参数k（迭代次数）可以从理论结果推断。当我们从估计模型参数时，用p表示一些迭代过程中从数据集内随机选取出的点均为局内点的概率；此时，结果模型很可能有用，因此p也表征了算法产生有用结果的概率。用w表示每次从数据集中选取一个局内点的概率，如下式所示：
w = 局内点的数目 / 数据集的数目
通常情况下，我们事先并不知道w的值，但是可以给出一些鲁棒的值。假设估计模型需要选定n个点，wⁿ是所有n个点均为局内点的概率；1 − wⁿ是n个点中至少有一个点为局外点的概率，此时表明我们从数据集中估计出了一个不好的模型。 (1 − wⁿ)^k表示算法永远都不会选择到n个点均为局内点的概率，它和1-p相同。因此，
1 − p = (1 − wⁿ)^k
我们对上式的两边取对数，得出

值得注意的是，这个结果假设n个点都是独立选择的；也就是说，某个点被选定之后，它可能会被后续的迭代过程重复选定到。这种方法通常都不合理，由此推导出的k值被看作是选取不重复点的上限。例如，要从上图中的数据集寻找适合的直线，RANSAC算法通常在每次迭代时选取2个点，计算通过这两点的直线maybe_model，要求这两点必须唯一。
为了得到更可信的参数，标准偏差或它的乘积可以被加到k上。k的标准偏差定义为：

 

五、优点与缺点
RANSAC的优点是它能鲁棒的估计模型参数。例如，它能从包含大量局外点的数据集中估计出高精度的参数。RANSAC的缺点是它计算参数的迭代次数没有上限；如果设置迭代次数的上限，得到的结果可能不是最优的结果，甚至可能得到错误的结果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率与迭代次数成正比。RANSAC的另一个缺点是它要求设置跟问题相关的阀值。
RANSAC只能从特定的数据集中估计出一个模型，如果存在两个（或多个）模型，RANSAC不能找到别的模型。

六、应用
RANSAC算法经常用于计算机视觉，例如同时求解相关问题与估计立体摄像机的基础矩阵，在图像拼接时求变换矩阵的时候。

下面也给出一篇ransac用于图像拼接方面的论文：基于特征匹配的全自动图像拼接算法研究.kdh

参考资料：http://www.cnblogs.com/xrwang/archive/2011/03/09/ransac-1.html

我的数学之美（一）——RANSAC算法详解

博客分类： 
• 图像识别、机器学习、数据挖掘

算法 C C++ C# J# 

给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。 

生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。 

遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。 



RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证： 

• 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
• 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
• 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
• 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
• 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
• 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

整个过程可参考下图： 



关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释： 

 #include <math.h>
 #include "LineParamEstimator.h"

 LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
 /*****************************************************************************/
 /*
  * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y]
  * 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况
  * 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点
  */
 void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
                                                                     std::vector<double> &parameters)
 {
     parameters.clear();
     if(data.size()<2)
         return;
     double nx = data[1]->y - data[0]->y;
     double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k
     double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);

     parameters.push_back(nx/norm);
     parameters.push_back(ny/norm);
     parameters.push_back(data[0]->x);
     parameters.push_back(data[0]->y);
 }
 /*****************************************************************************/
 /*
  * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y]
  * 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量
  */
 void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
                                                                                             std::vector<double> &parameters)
 {
     double meanX, meanY, nx, ny, norm;
     double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
     int i, dataSize = data.size();

     parameters.clear();
     if(data.size()<2)
         return;

     meanX = meanY = 0.0;
     covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
     for(i=0; i<dataSize; i++) {
         meanX +=data[i]->x;
         meanY +=data[i]->y;

         covMat11    +=data[i]->x * data[i]->x;
         covMat12    +=data[i]->x * data[i]->y;
         covMat22    +=data[i]->y * data[i]->y;
     }

     meanX/=dataSize;
     meanY/=dataSize;

     covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
         covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
     covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
     covMat21 = covMat12;

     if(covMat11<1e-12) {
         nx = 1.0;
             ny = 0.0;
     }
     else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
                //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
                //eigenvalue, which isn't computed explicitly.
         double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
         nx = -covMat12;
         ny = lamda1 - covMat22;
         norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
         nx/=norm;
         ny/=norm;
     }
     parameters.push_back(nx);
     parameters.push_back(ny);
     parameters.push_back(meanX);
     parameters.push_back(meanY);
 }
 /*****************************************************************************/
 /*
  * Given the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
  * [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
  * 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为
  * 零则表明点在直线上
  */
 bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> &parameters, Point2D &data)
 {
     double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);
     return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
 }

RANSAC寻找匹配的代码如下： 

 /*****************************************************************************/
 template<class T, class S>
 double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> &parameters,
                                                       ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,
                                                     std::vector<T> &data,
                                                     int numForEstimate)
 {
     std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;
     int numDataObjects = data.size();
     int numVotesForBest = -1;
     int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2
     short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
     short *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero


               //there are less data objects than the minimum required for an exact fit
     if(numDataObjects < numForEstimate)
         return 0;
         // 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。
     computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
                                         bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);

        //compute the least squares estimate using the largest sub set
     for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {
         if(bestVotes[j])
             leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));
     }
         // 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型
     paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);

     delete [] arr;
     delete [] bestVotes;
     delete [] curVotes;

     return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;
 }

在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。 

RANSAC可以用于哪些场景呢？最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图： 







另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来： 

 

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