数学常用公式及规律、结论（二）

• logAB =−logBA  

23 ,34 ,45 ,⋯,n−1n   的单调性

23 ,34 ,45 ,⋯,n−1n   （序列）的单调性，我们可以根据 x−1x   （函数）的单调性加以判断；

判断 x−1x   的单调性， x−1x =1−1x   ，在 x  为正时，随着 x  的增高而降低；

阶乘

(nk)=n!k!(n−k)! =n(n−1)⋯(k+1)(n−k)!  

分子分母各有 n−k  项连乘；

(nk)=n!k!(n−k)! =n(n−1)⋯(n−k+1)k!  

分子分母有 k  个数连乘；

等比数列前 n  项和

∑ n=1 ∞ (12 ) n =12 (1−(12 ) ∞ )1−12  =12 12  =1 

convex function （凸函数）

弦在弧上（也是大名鼎鼎的Jensen’s inequality），也即如上图所示：

λf(x 1 )+(1−λ)f(x 2 )≥f(λx 1 +(1−λ)x 2 ) 

也可理解为 函数（凸函数）的期望大或等于期望的函数。

−log(x)  负对数函数即是一种凸函数：