hdu 1847 Nim博弈

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题目链接：poj zoj
题意：有 N 堆石子，两人轮流从任一堆中取任意个石子（至少一个），最后一个取石子的人为胜利者。若先取者胜利，则输出第一次拿走石头的方法一共可以有多少种。
分析：
求出一个必胜局面有多少种方式可以导出必败局面.
也就是求由S态到T态有多少种路径.
一个S态要转化成为T态,
令C = k1^k2^k3…^kn.
C的二进制表示最高位为1.
假设ki的二进制表示最高位与C的二进制表示最高位相同,那么可以通过将ki的某些二进制位上的0置为1,1置为0来使得C’ = 0,也就是使S态转化为T态.
所以问题就是寻找有多少个ki,其最高位和C的最高位相同.

看本题前后 可以做一下斐波那契博弈 在思维上有些相关性
斐波那契博弈<-点击这里进入链接

先声明一下 每一个数 都可以用2的N次幂的数的集合里元素加起来表示 （联想2进制数把每位的数换成他所等价的10进制的值）
标准的Nim博弈是要求可以取任意个石子 因为这个任意的数能够用2的N次幂的数的集合里元素加起来表示 所以只取2^n(n=0,1,2.3……)个数的石子就可以了
而且相对后面判断奇异局势，比较好理解

还是和所有博弈一样 找到它的必败态也就是奇异局势
假设n堆为3堆
1.(0,0,0)是理所当然的奇异局势
2.(0,n,n)也是奇异局势,只要先手拿多少,后手在另一堆里拿相同个数的石子 就总保持(0,n,n)等先手最后一次拿光的时候,后手就可以把最后一堆剩下的全部拿光了
3.(a,b,c)满足奇异局势的时候,和(2)的情况一样先手拿多少后手就拿多少,这个时候假定每一次先手拿的石子个数是a[i],那么只要保证在(a,b,c)中保证a[i]均成对即可 这样对方拿出来多少你就拿多少 就能保证赢
举个例子(4,9,13)

如果先手拿8,4,1 后手也这样拿 那么先手一定输
当然 先手也可能拿2 不管拿那个数里的2 都可分解出来 成对的
如果说拿的是4里的2 可以拿13中的2 可以拿13中的2 保证接下来的是成对的
可以划成这样
如果说拿的是9里的2 也可以拿13中的2 保证接下来的是成对的
可以划成这样
如果说拿的是13里的2 也可以拿9或13中的2 保证接下来的是成对的
划分之后的和上两个图片是一样了
知道了上述这些 那么无论是3堆还是多少堆 都是这样凑成对就好了

刚刚解释的就是Nim博弈的过程了 那么怎么用代码实现的呢
其实自习观察上几张图片 会发现点什么 先想一想再看下文
如果把出了0的数均换成1 并按照顺序呢列出 就会发现这就是一个二进制数
想到了而进制数 那就应该想到位运算
Ps: 如果想多了解一下位运算<-点击此处进入链接
那么只要用“^”异或运算就可以判断局势是不是奇异局势了

对于三堆的满足a^b^c=0就是奇异局势
N堆的话就是

付一下本题代码

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
using namespace std;  
int main()  
{  
    int n;  
    while (scanf("%d", &n), n)  
    {  
        int stone[1001], ans = 0, i;  
        for (i=0; i<n; i++)  
        {  
            scanf("%d", &stone[i]);  
            ans ^= stone[i];  
        }  
        int total = 0;  
        for (i=0; i<n; i++)  
        {  
            if (stone[i] > (stone[i]^ans))  
                total ++;  
        }  
        printf("%d\n", total);  
    }  
    return 0;  
}