算法与数据结构-精确覆盖

 在一个 全集X中若干 子集的 集合为S， 精确覆盖（Exact cover）是指，S的子集S*，满足X中的每一个元素在S*中恰好出现一次。 ^[1]

在计算机科学中，精确覆盖问题指找出这样的一种覆盖，或证明其不存在。这是一个NP-完全问题^[1]，也是卡普的二十一个NP-完全问题之一^[2]。

定义

满足以下条件的集合为一个精确覆盖：

• S*中任意两个集合没有交集，即X中的元素在S*中出现最多一次
• S*中集合的全集为X，即X中的元素在S*中出现最少一次

合二为一，即X中的元素在S*中出现恰好一次。

[编辑]举例

令 S= {N, O,E,P} 是集合X = {1, 2, 3, 4}的一个子集，并满足：

• N = { }
• O = {1, 3}
• E = {2, 4}
• P = {2, 3}.

其中一个子集 {O, E} 是 X的一个精确覆盖,因为 O = {1, 3} 而 E = {2, 4} 的并集恰好是 X = {1, 2, 3, 4}。同理， {N, O, E} 也是 X.的一个精确覆盖。空集并不影响结论。

[编辑]关系表示

通常我们用S的每个子集与X的元素之间包含关系的二元关系来表示精确覆盖问题。

[编辑]矩阵表示法

包含关系可以用一个关系矩阵表示。. 矩阵每行表示S的一个子集，每列表示X中的一个元素。矩阵行列交点元素为1表示对应的元素在对应的集合中，不在则为0.^[3]

通过这种矩阵表示法，求一个精确覆盖转化为求矩阵的若干个行的集合，使每列有且仅有一个1。同时，该问题也是精确覆盖的典型例题之一。

下图为其中一个例子：

	1	2	3	4	5	6	7
A	1	0	0	1	0	0	1
B	1	0	0	1	0	0	0
C	0	0	0	1	1	0	1
D	0	0	1	0	1	1	0
E	0	1	1	0	0	1	1
F	0	1	0	0	0	0	1

S* = {B, D, F} 便是一个精确覆盖。

[编辑]图论表示法

包含关系也可以用一个二分图表示。

二分图左侧每个节点表示S的每个集合，右侧每个节点表示X的每个元素，而精确覆盖便是一种匹配，满足右侧的每个点恰好有一条边。

[编辑]求解方法

X算法是高德纳提出的解决该问题的算法，而舞蹈链算法(Dancing Links，DLX)算法是X算法在计算机上的一种高效实现。

[编辑]应用举例

• 数独求解^[3]

[编辑]参考文献

1. ^ ^1.01.1NP Complete, Exact Cover
2. ^ Stephen Cook.The Complexity of Theorem Proving Procedures. Proceedings of the third annual ACM symposium on Theory of computing. 1971:  151–158. 
3. ^ ^3.03.1Exact Cover Matrix

2个分类:

• 理论计算机科学
• NP完全问题

更多：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%B2%BE%E7%A1%AE%E8%A6%86%E7%9B%96%E9%97%AE%E9%A2%98