三门问题

三门问题

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自 美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，哪扇门后是羊，那么答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。

这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

注意事项

读懂题意很重要，问题的关键在于“主持人知道门后面有什么”。

分析

考虑换门的情况。

某人去选的话，有1/3的概率选中车，主持人打开另一扇后面为羊的门，用户换门没中。

有2/3的概率选中羊，主持人打开另一扇后面为羊的门，剩下的门则必为车，用户换门必中。

1/3的概率不中，2/3的概率中，换门中的概率为2/3。

不换门中的概率则为1/3。

问题拓展

拓展到4门问题，换门中的概率为3/8，不换门中的概率是1/4。

拓展到N门问题，换门中的概率为(n-1)/n(n-2)，不换门中的概率为1/n。