算法分析—最长公共子序列(LCS)

子序列：给定一个序列X={x1,x2,…,xm}，另一个序列Z={z1,z2,…,zk}，即存在一个严格递增的X的下标序列{i1,i2,…,ik},对于所有的j=1,2,3…,k,满足xij=zj,我们称Z为X的子序列
公共子序列：对于给定的两个序列X，Y，若Z既是X的子序列也是Y的子序列，则称Z是X和Y的公共子序列。
我们需要解决的是求最长公共子序列

定理：令X={下x1,x2,…，xm}，Y={y1,y2,…,yn}为两个序列，Z={z1,z2,…，zk}为X和Y的最长公共子序列（LCS）
1、如果xm=yn，则zk=xm=yn，且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的LCS
2、如果xm!=yn且xm!=zk，则Z是X(m-1)和Y的一个LCS
3、如果xm!=yn且yn!=zk，则Z是Yn-1)和X的一个LCS

根据以上定理可以推出以下公式：

C[i,j]表示X(i)和X(j)的最长公共子串的长度

代码模板：

//求s1和s2的LCS问题
public class LCS
{
	static String s1;
	static String s2;
	static int n;//s1的长度
	static int m;//s2的长度
	public static void main(String[] args)
	{
		//对s1，s2,n，m进行赋值
	}
	
	static int[][] c=new int[n+1][m+1];
	//c[i][j]表示：s1[0]~s1[i-1]与s2[0]~s2[j-1]的最长子序列的长度
	static int len_lcs()
	{
		for(int i=0;i<=n;i++){
			c[0][i]=0;
			c[i][0]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)){
					c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				}else {
					c[i][j]=Math.max(c[i][j-1], c[i-1][j]);
				}
			}
		}
		return c[n][m];
	}
	
	static void str_lcs()
	{
		char[] strLcs=new char[c[n][m]];
		int i=n;int j=m;int k=0;
		while(c[i][j]>0){
			if(s1.charAt(i-1)==s2.charAt(j-1)){
				strLcs[k]=s1.charAt(i-1);
				k++;
				i--;
				j--;
			
			}else if(c[i][j]==c[i-1][j]){
				i--;
			}else {
				j--;
			}
		}
		for(int t=strLcs.length-1;t>=0;t--){
			System.out.print(strLcs[t]);
		}
	}

}