bzoj 1257 [CQOI2007] 余数之和 sum 题解

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【题目】

1257: [CQOI2007]余数之和sum

Time Limit: 5 Sec   Memory Limit: 162 MB
Submit: 1344   Solved: 615
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Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

【分析】这道题我研究了半天，最后还是CLJ大神的题解给了我一点启发。然后我又深入研究，总算A了。首先，当N>K的时候直接加上(N-K)*K就行了。然后我们来研究Σ(K MOD I)(1<=i<=K)。K MOD I=K-TRUNC(K/I)*I.而且CLJ大神说，K/I最多只有SQRT(N)个。（其实打个表就知道了）那么我们把K/I相等的分在一组里进行操作，而且可以发现，如果一坨数字在同一组，他们的余数构成等差数列。每次用二分去找一组的尾边界。

【代码】

/**************************************************************
    Problem: 1257
    User: jiangshibiao
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:108 ms
    Memory:804 kb
****************************************************************/
 
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,k,now,chu,last,ans;
ll erfen(ll l,ll r)
{
  if (l==r) return l;
  ll mid=(l+r)/2+1;
  if (ll(k/mid)==chu) return erfen(mid,r);
  return erfen(l,mid-1);
}
int main()
{
  scanf("%lld%lld",&n,&k);
  if (n>k) ans+=(n-k)*k;
  if (n>k-1) n=k-1;
  now=1;
  while (now<=n)
  {
    chu=ll(k/now);
    last=erfen(now,n);
    ans+=(2*k-chu*(now+last))*(last-now+1)/2;
    now=last+1;
  }
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}