欧几里德(最大公约数)

也就是常说的辗转相除法。

最早我们理解的都是通过减法实现的,如下面递归方式:
long gcd (long m, long n)
{
  if (m==n) return n;
  else if(m<n) return gcd(m, n-m);
  else return gcd(m-n, n);
}



其实,取模效率要高很多。如下面公式所示:

gcd(a, b) = gcd (b, a%b)


long gcd ( long a, long b)
{
  if (b==0) return a;
  return gcd(b, a%b);
}



非递归方式实现也很简单:

long gcd (long a, long b)
{
  while (b>0)
  {
    long r = a%b;
    a = b;
    b = r;
  }  
}



实现起来虽然比较简单,原理却不是一下就能想通。
因此推导一下,如果a>b>0, 且r=a%b。

a = b*k + r
若d为a和b的一个约数,则d也是r的一个约数
即:
a = d*k1
b = d*k2
r = a - b*k = d*k1 - d*k*k2 = d*(k1 - k*k2)
d|b, d|a <-> d|r

然后就有:
(d|a)∧(d|b) <-> (d|b)∧(d|r), ∧表示同时成立。

找到第一个d就是最大公约数了,当k=1的时候就是减法的特例了。

复杂度方面有个推论:O(lg(n)), n=max(a, b)




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