Guass列主元、平方根法、追赶法求解方程组的C++实现

一，要解决的问题

选用合适的算法，求解三种线性方程组：一般线性方程组，对称正定方程组，三对角线性方程组。
方程略。

二，数值方法

1，使用Guass列主元消去法求解一般线性方程组。

Guass列主元是为了防止Guass消去法中大数吃掉小数而引出的一种线性方程组求解方法，消元时选用一列中绝对值最大的元素作为列主元素。
算法伪代码：

消元过程

回代过程

2，使用平方根法求解对称正定方程组

平方根法，它把系数矩阵（对称正定矩阵）表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。这种分解又称为Cholesky分解。

3，使用追赶法求解三对角线性方程组

三对角线性方程组是指这一类的线性方程组：系数矩阵是一个对角占优的三对角矩阵。追赶法是专门用来求解三对角线性方程组的，它将系数矩阵分解成alpha矩阵和beta矩阵的乘积，如下图所示：

三，算法

1，Guass列主元消去法

/* CreateOn:2016/03/20 Author:linxiaobai Function:linear equation solution solution1:列主元Guass消去法求解一般线性方程组 */
#include "stdafx.h"
# include<iostream>
# include<algorithm>
# include<fstream>
# include<iomanip>
# include<cmath>
using namespace std;
double a[15][15];
const int N=10;
double res[N+1];
void printArry(double a[][15])//打印增广矩阵
{
    for(int i=1;i<=10;i++)
    {
        for(int j=1;j<=11;j++)
        {
            cout<<setw(3)<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    cout<<"【运用列主元Guass求解一般线性方程组】"<<endl;
    //读入增广矩阵
    ifstream in;
    in.open("data.txt");
    if(!in)
    {
        cerr<<"file open failed!"<<endl;
        return 0;
    }
    double x;
    int i=1,j=1;
    while(!in.eof())
    {
        in>>a[i][j];
        j++;
        if(j>11)
        {
            i++;j=1;
        }
    }
    cout<<"增广矩阵："<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
    printArry(a);
    cout<<"++++++++++++++++++++++++++";
    for(int k=1;k<=N-1;k++)
    {
        double tmp=abs(a[k][k]);
        int ind=k;
        for(int j=k;j<=N;j++)//找绝对值最大的行
        {
            if(abs(a[j][k])>tmp) 
            {tmp=abs(a[j][k]);ind=j;}
        }
        //若a[ind][k]=0,停止计算
        if(a[ind][k]==0){cout<<"no unique solution"<<endl;return 0;}
        //绝对值最大的行交换到第k行
        if(ind!=k)
            for(int j=1;j<=N+1;j++)
                swap(a[ind][j],a[k][j]);
        //消元计算
        double p;
        for(int i=k+1;i<=N;i++)
        {
            p=a[i][k]/a[k][k];
            for(int j=k;j<=N+1;j++)
                a[i][j]-=p*a[k][j];
        }
    }
    if(a[N][N]==0)
    {cout<<"no unique solution"<<endl;return 0;}
    //回代求解
    res[N]=a[N][N+1]/a[N][N];
    double s;
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
    {
        s=0;
        for(int j=i+1;j<=N;j++)
            s+=a[i][j]*res[j];
        res[i]=(a[i][N+1]-s)/a[i][i];
    }
    //输出解向量为
    cout<<endl<<endl<<"解向量为："<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(abs(res[i])<10e-14)
            cout<<"0"<<" ";
        else
            cout<<res[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}

2，使用平方根算法解对称正定方程组

/* CreateOn:2016/03/20 Author:linxiaobai Function:linear equation solution solution1:使用平方根算法解对称正定方程组 */
# include"stdafx.h"
# include<iostream>
# include<fstream>
# include<cmath>
# include<iomanip>
using namespace std;
double a[10][10];
const int N=8;
double b[N+1],xx[N+1],yy[N+1];
void printArry(double a[][10])//输出系数矩阵
{
    for(int i=1;i<=8;i++)
    {
        for(int j=1;j<=8;j++)
        {
            cout<<setw(3)<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}int main()
{
    cout<<"【运用平方根算法解对称正定方程组】"<<endl;
    /*读入系数矩阵*/
    ifstream in;
    in.open("data2.txt");
    if(!in)
    {
        cerr<<"file open failed!"<<endl;
        return 0;
    }
    int i=1,j=1;
    while(i<=N)
    {
        in>>a[i][j];
        j++;
        if(j>8)
        {
            i++;j=1;
        }
    }
    /*读入b[]*/
    for(int i=1;i<=N;i++)
        in>>b[i];

    cout<<"系数矩阵："<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
    printArry(a);
    cout<<endl<<endl<<"b："<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cout<<setw(3)<<b[i]<<" ";
    cout<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++";

    //开始计算，A=GG',G存在A的下三角
    for(int k=1;k<=N;k++)
    {
        double s1=0;
        for(int m=1;m<=k-1;m++)
            s1+=pow(a[k][m],2);
        a[k][k]=sqrt(a[k][k]-s1);
        for(int i=k+1;i<=N;i++)
        {
            double s2=0;
            for(int m=1;m<=k-1;m++)
                s2+=a[i][m]*a[k][m];
            a[i][k]=(a[i][k]-s2)/a[k][k];
        }
        //计算y
        double s3=0;
        for(int m=1;m<=k-1;m++)
            s3+=a[k][m]*yy[m];
        yy[k]=(b[k]-s3)/a[k][k];
    }
    //计算x
    xx[N]=yy[N]/a[N][N];
    for(int k=N-1;k>=1;k--)
    {
        double s4=0;
        for(int m=k+1;m<=N;m++)
            s4+=a[m][k]*xx[m];
        xx[k]=(yy[k]-s4)/a[k][k];
    }
    cout<<endl<<"解向量为:"<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cout<<setw(3)<<xx[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}

3，使用追赶法解三对角线性方程组

/* CreateOn:2016/03/20 Author:linxiaobai Function:linear equation solution solution1:使用追赶法解三对角线性方程组 */
# include"stdafx.h"
# include<iostream>
# include<fstream>
# include<iomanip>
# include<cmath>
using namespace std;
const int N=10;
double a[N+1],c[N+1],d[N+1],xx[N+1],yy[N+1];
int main()
{
    cout<<"【运用追赶法解三对角线性方程组】"<<endl;
    //a[N]:主对角线上的元素
    for(int i=1;i<=N;i++)
        a[i]=4;
    //c[N]:上辅对角线上的元素
    for(int i=1;i<=N-1;i++)
        c[i]=-1;
    //d[N]:下辅对角线上的元素
    for(int i=2;i<=N;i++)
        d[i]=-1;
    double b[]={0,7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5};
    cout<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;
    cout<<"主对角线上的元素a:"<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cout<<setw(3)<<a[i]<<" ";
    cout<<endl<<endl<<"上辅对角线上的元素c:"<<endl;
    for(int i=1;i<=N-1;i++)
        cout<<setw(3)<<c[i]<<" ";
    cout<<endl<<endl<<"下辅对角线上的元素d:"<<endl;
    for(int i=2;i<=N;i++)
        cout<<setw(3)<<d[i]<<" ";
    cout<<endl<<endl<<"b:"<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cout<<setw(3)<<b[i]<<" ";
    cout<<endl<<"++++++++++++++++++++++++++"<<endl;

    /*开始计算*/
    double alpha[N+1],beta[N+1];
    alpha[1]=a[1];
    for(int i=1;i<=N-1;i++)
    {
        beta[i]=c[i]/alpha[i];
        alpha[i+1]=a[i+1]-d[i+1]*beta[i];
    }
    yy[1]=b[1]/alpha[1];
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        yy[i]=(b[i]-d[i]*yy[i-1])/alpha[i];
    }
    xx[N]=yy[N];
    for(int i=N-1;i>=1;i--)
        xx[i]=yy[i]-beta[i]*xx[i+1];
    //解向量为：
    cout<<endl<<"解向量为："<<endl;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(abs(xx[i])<10e-14)
            cout<<"0"<<" ";
        else
            cout<<xx[i]<<" ";
    cout<<endl;
    return 0;
}

四，数值结果

1，Guass列主元消去法

2，使用平方根算法解对称正定方程组

3，使用追赶法解三对角线性方程组

五，结果分析与实验总结

浮点计算产生的误差

在Guass消元算法之前的代码中，我使用了近似的方法，将绝对值小于10的-14次方的值近似为0，现在去掉这个处理，来看一下结果：

for(int i=1;i<=N;i++)
        //if(abs(res[i])<10e-14)
            //cout<<"0"<<" ";
        //else
            cout<<res[i]<<" ";

可以看到x3的值是一个十分接近于0的数，如果将消元后的系数矩阵打印出来，可以看到消元后的系数矩阵并不是一个真正的上三角矩阵，下三角部分有几处的值是一个绝对值极小的值，这是由于计算机的浮点计算造成的，浮点数在计算机中本身就不是一个精确的数，在消元的过程中，一些浮点运算有误差，于是最后得到的是近似值，而不是0。
同理，平方根法和追赶法也会产生由浮点数计算引起的误差，减少计算误差正是学习数值分析的目的。