DFS应用——找出无向图的割点

【0】README

0.1） 本文总结于 数据结构与算法分析， 源代码均为原创， 旨在 理解 “DFS应用于找割点” 的idea 并用源代码加以实现；
0.2） 必须要事先 做个specification的是：对于给定图的除开起始vertex的那些 vertexes，都可以通过我们的 rules（见下文）找出割点，即对于根（start），我们需要做个special 的test，参见main函数中最后的源码；

【1】 无向图割点相关

1.1）割点定义（articulate point）： 如果一个图不是双连通的， 那么将其删除后图将不再连通的那些顶点叫做割点；

1.2）双连通性定义： 如果一个连通的无向图中的任一顶点删除之后， 剩下的图仍然是连通的， 那么这样的无向连通图就是 双连通的；
1.3）看个荔枝： 如果节点是 路由器或者交换机 的话， 边是网络链路， 那么若有一台 路由器或者交换机 出故障而不能运行， 则网络并不会受到影响的；

【2】深度优先搜索提供一种找出连通图中的所有割点的线性时间算法

2.1）首先， 从图中任一顶点开始， 执行深度优先搜索并在顶点被访问时给它们编号， 对于每一个顶点，我们称其为先序编号 Num(v) （注：在源代码中，vertexIndex 表示Num的含义，下文不再累述)；
2.2）然后， 对于深度优先搜索生成树上的每一个顶点v， 计算编号最低的顶点， 我们称之为 Low（v），该点从v 开始， 通过树的零条或多条边且可能还有一条背向边而达到 （注：在源代码中，vertexLow 表示Low的含义，下文不再累述)；
Attention）右上图中的深度优先搜索树首先指出先序编号，然后指出上述法则下可达到的最低编号顶点；

2.3）从A、B、C开始的可达到最低编号顶点为1（A）， 因为它们都能够通过树的边到D， 然后再由一条背向边回到A；
2.4）我们可以通过对该深度优先生成树执行一次后序遍历有效地算出 Low， 根据low的定义，可知Low（v）是：

• （1） Num（v） +
• （2） 所有背向边（v, w）中的最低Num（w） +
• （3） 树的所有边（v, w）中的最低Low（w）， 以上三者中 的最小者；
• 对以上规则的分析： 第一个条件是不选取边； 第二种方法是不选取树的边 而是选取一条背向边；第三种方法则是选择树的某些边以及可能还有一条背向边；

Attention）

• A1）由于我们需要对v 的所有儿子计算出 Low 值后才能计算Low(v) , 因此这是一个后序遍历；
• A2）对于任一条边（v, w）， 我们只要检查Num（v）和 Num（w）就可以知道它是树的一条边还是一条背向边（因为如果是深度优先树的边， Num(v) < Num(w)， 因为v比w先被访问到， 而如果是背向边，Num(v) >Num(w)的 ）；
• A3）因此， Low（v） 容易计算： 我们仅仅需要扫描v 的邻接表，应用适当 的法则，并记住最小值。 所有的计算花费 O（|E| + |V|）；

【3】剩下要做的就是利用 这些信息找出所有的割点。

3.1）对于根（见本文README部分）：根是割点当且仅当它有多于一个的儿子（根至少要有两个儿子），因为如果它有两个儿子， 那么删除根则使得节点不连通而分布在不同的子树上；如果根只有一个儿子， 那么除去该根只不过是断离该根。
3.2）对于任何其他顶点v： 它是割点当且仅当它有某个儿子w 使得Low（w）>= Num(v)； （注意， 这个条件在根处总是满足的； 因此，需要进行特别的测试）（干货）

【4】source code + printing results

4.1）download source code： https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter9/p242_dfs_findArticulation
4.2）source code at a glance：（for complete code , please click the given link above）

• 4.2.1） 找割点的函数

// "find the articulation point from the given graph"
void findArticulate(Vertex vertex, int depth)
{   
    int i;
    AdjTable temp;  
    Vertex adjVertex;                       

    visited[vertex] = 1; // update visited status of vertex
    vertexIndex[vertex] = counter++; // evaluating vertex index with counter
    vertexLow[vertex] = vertexIndex[vertex]; // the 1st rule: evaluating vertex low with counter
    temp = adj[vertex]; 

    while(temp->next)
    {
        adjVertex = temp->next->vertex;     
        if(visited[adjVertex]) // judge whether the adjVertes was visited before        
        {
            if(vertexIndex[vertex] > vertexIndex[adjVertex] && parent[vertex] != adjVertex)     
            {
                //parent[adjVertex] = vertex; // building back side, attention of condition of building back side above             
                //ex vertex= 3, adjVertex = 0

                // just for printing effect
                for(i = 0; i < depth; i++)  
                    printf(" ");
                printf("vertex[%c]->vertex[%c] (backside) \n", flag[vertex], flag[adjVertex]);

                // only if there's a backside, we apply the 2rd rule into the graph vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexIndex[adjVertex]); // the 2rd rule: find lowest vertexIndex[w] among all edges(v, w) } } // if(!visited[adjVertex]) // there's the case no backside, and if condition sentences refers to case of backside
        else 
        {
            parent[adjVertex] = vertex;         
            // just for printing effect
            for(i = 0; i < depth; i++)  
                printf(" ");
            printf("vertex[%c]->vertex[%c] (building edge)\n", flag[vertex], flag[adjVertex]);          
            findArticulate(adjVertex, depth+1);

            if(vertex != start) // judge whether the vertex is the start (root) or not          
                if(vertexLow[adjVertex] >= vertexIndex[vertex])
                    printf("\n\t vertex[%c] proves to be an articulation point !", flag[vertex]);

            vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexLow[adjVertex]); // the 3rd rule: find lowest verdexLow[w] among all edges(v, w)       
        }

        temp = temp->next;              
    } 
}  

• 4.2.2） 判断start顶点是否是割点的函数

int isStartArticulation()
{
    int i;  
    AdjTable temp;
    Vertex adjVertex;   

    temp = adj[start];  

    while(temp->next)
    {
        adjVertex = temp->next->vertex; 
        if(adjVertex == start)
        {
            temp = temp->next;
            continue;
        }

        dfs(adjVertex, 1);      
        for(i=0; i<size; i++)       
            if(visited[i] != 1) // "refers that the start vertex is the articulation point"
                return 1;        

        temp = temp->next;
    }

    return 0;
}

4.3）printing results：