题目:
当输入数据已经“几乎有序时”,插入排序很快,在实际应用中,我们可以利用这一特点来提高快速排序的速度。当对一个长度小于k的子数组调用快速排序时,让它不做任何排序就返回。当上一层的快速排序调用返回后,对整个数组运行插入排序完成排序过程。证明:这一排序算法的期望时间复杂度为O(nk+nlg(n/k)).
解决方案:
quicksort在递归到只有几个元素大小的数组时开始用插入排序的方法。改进的快速排序方法在
期望时间=原始快排的期望时间+插入排序方法的期望时间。
这里还是要用到7.4(算法导论第7章)的分析方法。对于快排还要计算期望比较次数。
因为被划分在同一个小数组k中的元素,是不会在快排里比较的。所以Xij只要计算那些i和j相差k-1个以上的元素比较就可以了。
定义一个元素集合Zij={zi,zi+1,,,,,,,,zj}
定义一个指示器随机变量Xij=I{zi与zj进行了比较}
E[Xij]=Pr[Xij]=Pr{zi与zj进行了比较}=Pr{zi是Zij的主元}+Pr{zj是Zij的主元}=2/(j-i+1)//因为在快排中,二者能够比较,则其中一个必是主元
快速排序的期望比较次数E[Xij]为
那么快排的期望时间是O(nlg(n/k)),假设优化后的快排产生的小数组大小O(k),在每个大小O(k)的小数组里使用插入排序,时间复杂度为O(k^2),总共有O(n/k)个小数组,则插入排序时间为O(nk),。那么把这些时间加起来就是O(nk+nlog(n/k))。
之后对k的取值进行了实验:
使用插入排序优化快速排序的算法实现
实验目的:
快速排序可以按照以下的算法思想优化,并加快快速排序的速度:即当快速排序所划分的子序列的长度小于某个定值k时,该子序列基本有序,可以采用插入排序的办法对子序列进行排序,从而使整体算法的时间复杂度的期望下降为O(nk+nlg(n/k))。本实验的目的是实现该快速排序的优化算法,并且探讨合理的k的取值范围
问题定义
实验总共要解决两个问题
1、 优化的快速排序的算法确实能够加速快速排序的速度。
2、 讨论k的合理的取值范围。
对于给定规模为n的int[]无序随机数组进行排序,通过实验证明经过优化的快速排序比传统的快排效率要高,并讨论k的值的范围。
实验思想
1、 优化快速排序的方法:
a)
在快速的排序的方法中加入判断语句,当high-low<k的时候则调用插入排序的算法,否则继续使用快速排序。
b)
当k<=2时,实质上不调用插入排序,这样就可以得出相同规模的情况下直接使用快速排序所需要的时间。从而便于比较
2、 通过考察时间消耗来确定性能的高低
a)
每次计算数据都取一定规模的int 32型无序随机数进行排序,为了避免误差,规模n一定时,不同的k值,都计算5次运算时间,取平均值记录。
b)
使用.net framework 2.0提供的Stopwatch计时器对象,该对象可以将时间间隔精确到0.0001ms。
c)
从理论上得到合理的k值的取值范围是k<=logn.因此在验证取值范围的时候要取到log n 两侧的值。
d)
通过比较时间复杂度来计算性能提升的多少,从而得到加快了快速排序的结论,以及合理的k的取值范围。
测试数据及结果
本测试的硬件以及软件环境如下
CPU:PM 1.5G; 内存:768M;操作系统:windows xp sp2;软件平台:.net 2.0;
1、 数组规模为50的时候得到如下数据。
其中第一行为k的取值、第二行为程序运行所需要的时间,单位为ms。
2、 数组规模为500的时候得到如下数据。
其中第一行为k的取值、第二行为程序运行所需要的时间,单位为ms。
整体图
局部图
3、 数组规模为5000的时候得到如下数据。
其中第一行为k的取值、第二行为程序运行所需要的时间,单位为ms
4、 数组规模为50000的时候得到如下数据。
其中第一行为k的取值、第二行为程序运行所需要的时间,单位为ms
5、 数组规模为1,000,000的时候得到如下数据。
其中第一行为k的取值、第二行为程序运行所需要的时间,单位为ms
结果分析:
1、 由所有的图可以看出,经过优化以后的快速排序比传统快速排序的速度要快,通过数据计算可以排序速度提高了10%-20%左右。
2、 通过图示也可以知道当k=logn的时候,其效率提升并不是最大的,在规模不大(例如5个数量级以下)的排序中其最佳的k的取值往往比log n大,一般以8—12之间为最小。
当规模较大时,一般取logn为宜,即使最佳取值超过logn其性能提升也不明显。
3、 此后随着k的取值的增大,尤其是超过50之后,时间复杂度明显提升,甚至比快速排序的算法要差。
4、 在规模较大的排序过程中快速排序的效率明显好于插入排序。
有可能影响结论的因素:
1、 快速取随机数的算法:
a)
在本实验中,所使用的随机数是在10n的整数内取n个无重复的随机数,该算法有可能会影响对实验结果的分析有轻微影响。
2、 小规模的数组的分析
a)
对于小规模的数组有可能在快速排序之后得到的子序列的长度小于8,因此直接取8值得商榷。
实验结论
1、 经过优化以后的快速排序比传统快速排序的速度要快,通过数据计算可以排序速度提高了10%-20%左右。
2、 在规模不大(例如5个数量级以下)的排序中其最佳的k的取值往往比log n大,一般以8—12之间效率最佳。
当规模较大时,k的取值一般取logn为宜,即使最佳取值超过logn其性能提升也不明显。
源代码
优化排序的算法源代码(C#描述)
class
SortOp
{ //插入排序
private static void InsertSort(int[] list,int low,int high)
{
for (int i = low; i < high; i++)
{
int t = list[i];
int j = i;
while ((j > 0) && (list[j - 1] > t))
{
list[j] = list[j - 1];
--j;
}
list[j] = t;
}
}
private static void Swap(ref int i, ref int j)
//只有两个元素时直接交换
{
int t;
t = i;
i = j;
j = t;
}
//快速排序优化
public static void QuickSort(int[] list, int low, int high,int k)
{
//只剩下一个无需交换
if (high <= low)
{
return;
}
else if (high == low + 1)
{
//只剩下两个直接交换
if (list[low] > list[high])
{
Swap(ref list[low], ref list[high]);
return;
}
}
//大于三个元素开始优化的快速排序
myQuickSort(list, low, high,k);
}
public static void myQuickSort(int[] list, int low, int high,int k)
{
if (low < high)
{
if(high-low<k) //子序列小于k个使用插入排序
{
InsertSort(list,low,high);
}
else{
int pivot = Partition(list, low, high);
myQuickSort(list, low, pivot - 1,k);
myQuickSort(list, pivot + 1, high,k);
}
}
}
private static int Partition(int[] list, int low, int high)
{
int pivot;
pivot = list[low];
while (low < high)
{
while (low < high && list[high] >= pivot)
{
high--;
}
if (low != high)
{
Swap(ref list[low], ref list[high]);
low++;
}
while (low < high && list[low] <= pivot)
{
low++;
}
if (low != high)
{
Swap(ref list[low], ref list[high]);
high--;
}
}
return low;
}
}