算法导论第六章6.5优先队列课后答案。

6.5-1 试说明HEAP-EXTRACT-MAX在堆A={15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1}上的操作过程。

HEAP-EXTRACT-MAX(A)
if(A.heap-size<1)        //堆中元素是否为空
  error"heap underflow"  //如果是空的，那么返回错误
max=A[1]                 //将最大堆最大元素也就是第一个元素保存起来
A[1]=A[A.heap_size]      //将堆中最后一个元素赋值给第一个元素
A.heap_size=A.heap_size-1//堆元素数量减少1
MAX-HEAPIFY(A,1)//保持最大堆的性质
return max//返回这个最大元素

堆A个元素的顺序是： A={1,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2}
                    A={13,1,9,5,12,8,7,4,0,6,2}
                    A={13,12,9,5,1,8,7,4,0,6,2}
                    A={13,12,9,5,6,8,7,4,0,1,2}

6.5-2/6.5-4试说明MAX-HEAP-INSERT(A,10)在堆A={15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1}上的操作过程。

MAX-HEAP-INSERT(A,key)
A.heap-size=A.heap-size+1          //将堆中元素个数+1
A[A.heap-size]=负无穷大            //因为堆中新的最后一个元素开始没有被赋值，所以是一个不确定的数，而
//这个不确定的数可能大于待插入的key，这样就不符合原书本意。而被赋值为负无穷大后，保证了key>A[A.heap-size]
HEAP-INCREASE-KEY(A,A.heap-size,key)//在key>A[A.heap-size]前提条件满足的情况下，增加A[A.heap-size]值到key实现插入

堆A个元素的顺序是： A={15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1,负无穷大}
                    A={15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1,10}
                    A={15,13,9,5,12,10,7,4,0,6,2,1,8}
                    A={15,13,10,5,12,9,7,4,0,6,2,1,8}

6.5-3 要求用最小堆实现最小优先队列，请写出HEAP-MINMUM,HEAP-EXTRACT-MIN,HEAP-DECREASE-KEY和MIN-HEAP-INSERT的伪代码。

这里已经给出最小堆实现最小优先队列的代码。

6.5-5试分析在使用下列循环不变量时，HEAP-INCREASE-KEY的正确性：
     在算法的第4-6行while循环每次迭代开始的时候，子数组A[1..A.heap-size]要满足最大堆的性质。如果有违背，那么只有一种可能，A[i]>A[PARENT(i)].这里，你可以假定在调用HEAP-INCREASE-KEY时，A[1..A.heap-size]是满足最大堆性质的。


初始：在循环开始前，除了刚增加的A[i]=key不满足最大堆性质，其他元素都满足最大堆性质。
保持：在循环过程中，通过不断交换key值与其parent值，并且不断更新parent值来使增加元素值得堆满足最大堆性质。
终止：当i=1或A[PARENT(i)]>=A[i]时，代表所有元素已经排好，并且满足最大堆，那么循环自然终止。


6.5-6 在HEAP-INCREASE-KEY的第5行的交换操作中，一半需要通过三次赋值来完成。想一想如何利用INSERTION-SORT内循环部分的思想，只用一次赋值就完成一次交换操作？

void HEAP_INCREASE_KEY(int A[],int i,int key)
{
    if (key<A[i])
    {
        return ;
    }
    A[i]=key;
    while (i>0&&A[PARENT(i)]<=key)
    {
        //swap(A[i],A[PARENT(i)]);
        A[i]=A[PARENT(i)];//利用插入排序内部循环思想
        i=PARENT(i);
    }
    A[i]=key;
}

6.5-7 试说明如何使用优先队列来实现一个先进先出队列，以及如何使用优先队列来实现栈。(队列和栈的定义见10.1节)


设置最大堆第一个元素为队头Q.head,最后一个元素为队尾Q.tail。


先进先出队列的插入：当队列中有元素要入队，我们可以调用最大堆插入函数，先检测Q.tail==Q.head+1？测试栈是否满？然后把队尾Q.tail向后移动一位，再把队尾Q.tail=负无穷大，再调用HEAP-INCREASE-KEY函数实现插入。


先进先出队列的删除：先检测Q.tail==Q.head？测试栈是否空？调用HEAP-INCREASE-KEY(A,i,A[1])函数把待删除的元素增加到最大值，调用HEAP-EXTRACT-MAX(A)来删除，最后队尾Q.tail往前移动一位。


这就是先进先出的队列插入删除操作，这里不谈其他操作。


设置最大堆第一个元素为队头S.bottom,最后一个元素为队尾S.top。


先进后出栈的插入：当栈中要有新元素加入时，我们可以调用最大堆插入函数，先检测S.top>n? 然后把S.top向上移动一位，并设置新的S.top=负无穷大，调用HEAP-INCREASE-KEY函数，最后调用BUILD-MAX-HEAP(A)保持最大堆性质。实现插入。


先进先出栈的删除：先检测S.top=0？然后将该元素A[i]与栈顶元素A[heap-size]交换，S.top向下移动一位，最后调用BUILD-MAX-HEAP(A)保持最大堆性质。实现删除。


这就是先进后出的栈的插入删除操作，这里不谈其他操作。

6.5-8 HEAP-DELETE(A,i)操作能够将结点i从堆A中删除。对于一个包含n个元素的堆，请设计一个能够在O(lgn)时间内完成的HEAP-DELETE操作。

HEAP-DELETE(A,i)
HEAP-INCREASE-KEY(A,i,A[1])//将待删除的元素增加到数组最大值也就是最大堆第一个元素的值
HEAP-EXTRACT-MAX(A)//数组中有2个最大值，利用此函数删除一个实现对A[i]的删除。

6.5-9 请设计一个时间复杂度为O(nlgk)的算法，它能够将k个有序链表合并为一个有序链表，这里n是所有输入链表包含的总的元素个数。(提示：使用最小堆来完成k路归并)

这里是6.5-9具体解答。