1.6算法入门之牛顿迭代式求方程根

1.问题描述

2.问题分析

3.算法设计

4程序框架

5完整程序

6.关于牛顿迭代式,以前学的高等数学我表示还给老师了,老师您辛苦了

    用牛顿迭代法求下面方程在1.5附近的根。2X3 – 4X2 +3X- 6 = 0
    看到这个题目，我便开始百度，看什么是牛顿迭代法。看了上面的解释，我还是一头雾水。无从下手。不知所云。看着上面写的推到公式，我更是不知道是什么意思。最后一个无意中，我看到了一个名词，一阶导数函数。我眼睛一亮。似乎有所感悟，这些都是上大学学的高等数学的东西。可现在也基本上还给了老师。我根据例题，慢慢的去猜测到如何去求一个函数的一阶导数函数。又比葫芦画瓢，将程序写出来一运行，欣慰的是，程序算出了正确答案，自己手动套入方程，结果就是我们要的结果。通过这个题，发现自己的数学知识实在是太差劲了。更认识到，老师的良苦用心，在我上大学的时候，我一直不明白，高等数学对计算机编程有什么好处。参加工作后，慢慢的我认识到了数学对一个编程人员的重要性。

http://baike.baidu.com/view/643093.htm?fr=ala0_1_1这个网页是在百度上对牛顿迭代的介绍。
http://bbs.bccn.net/thread-281802-1-1.html这个页面是我看到的一个网友对牛顿迭代算法的推导过程，看完之后我真的是佩服，pangding网友的数学功底是如此之好。我要向他学习。因为我也是比葫芦画瓢，才将程序写出来的，其原理是：
(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;
(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;
(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
根据上面的原理编写代码：

double F1(double); //原函数

double F2(double); //原函数的一阶导数函数

double Newton(double,double);

int main(int argc, int *argv[])
{
double x0 = 1.5;
double e = pow(10,-5);
printf(“the result is %f\n”,Newton(x0,e));
system(“pause”);
}

double F1(double x)
{
return 2 * x * x * x - 4 * x * x + 3 * x - 6 ;
}

double F2(double x)
{
return 6 * x * x - 8 * x + 3 ;
}

double Newton(double x0, double e)
{
double x1;
do
{
x1 = x0;
x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);
}while (fabs(x1 - x0) > e);
return x0;
}

经程序计算，可以求根为：2
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
以下是pangding网友对牛顿迭代法的分析过程。

其实牛顿迭代法就是一利用不动点求方程根的方法之一。
如果你想求一个数，比如a的平方根。
相当于解方程：x^2 = a，或者 x^2 - a = 0。
如果你学过数学分析，应该知道左边可以在一个初值x0附近按泰勒级数展开：
x0^2 + 2(x-x0) * x0 + (x-x0)^2 - a = 0
取x的线性部分，就得到了一个近似方程：
x0^2 + 2(x-x0) * x0 - a = 0
可以从中解出x：
x = (a + x0^2) / (2 * x0)

如果你取的x0正好是a的平方根，那么代入上式，算出来的x还是a的平方根。
如果代入的不是a的平方根，那么算出来的x将比x0更接近a的平方根。
你可以设x0 = a’ + d(其中a’表示a的平方根)，代入：
于是x - a’
= (a + (a’+d)^2) / (2a’ + 2d) - a’
= (2a + 2a’d + d^2) / 2a’ + 2d - a’
< (2a + 2a’d + d^2) / 2a’ - a’
< (2a + 2a’d) / 2a’ - a’
= a’ + d - a’
= d
可见 x 与 a’ 的误差是比原来的x0要小的。
这样用新算出来的x做为x0的话，再代入那个式子，就可以算出更接近a’的数来。
理论上如果能无限代下去，最后就会得到a’的精确值。实际上只用迭代几次，就能得出与a’误差不太大的值。可以做为方程的近似解。

牛顿迭代法是一类解方程根的通法，虽然它也不是在任何情况下都能收敛到方程的根上。但一般情况下都可以以很快的速度逼近方程的根，因此这种方法使用的非常广泛。我这里只是就这道题推了一下公式，你上网查查应该有全面讲解 牛顿迭代法 的地方。在数学分析里这个方法又叫 牛顿切线法。它除了可以用泰勒公式推导以外(这是一种普遍的方法，除了可以推导牛顿迭代公式以外，还可以推导出更高阶的逼近公式。在数值分析中有专门的研究)，还可以用几何方法推导这个公式。

它的一般形式是：
x = x0 - f(x0) / f’(x0)