机器学习方法：回归（二）：稀疏与正则约束ridge regression，Lasso

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本节的内容需要依赖上一节已经讲了的机器学习：概念到理解（一）：线性回归，线性回归的模型是这样的，对于一个样本 xi ，它的输出值是其特征的线性组合：

f(xi)=∑m=1pwmxim+w0=wTxi

其中， w0 称为截距，或者bias，上式中通过增加 xi0=1 把 w0 也吸收到向量表达中了，简化了形式，因此实际上 xi 有 p+1 维度。

线性回归的目标是用预测结果尽可能地拟合目标label，用最常见的Least square作为loss function：

J(w)=1n∑i=1n(yi−f(xi))2=1n∥y−Xw∥2

可以直接求出最优解：

w∗=(XTX)−1XTy

看起来似乎很简单，但是在实际使用的过程中会有不少问题，其中一个主要问题就是上面的协方差矩阵不可逆时，目标函数最小化导数为零时方程有无穷解，没办法求出最优解。尤其在 p>n 时，必然存在这样的问题，这个时候也存在overfitting的问题。这个时候需要对 w 做一些限制，使得它的最优解空间变小，也就是所谓的regularization，正则。

ridge regression

最为常见的就是对 w 的模做约束，如ridge regression，岭回归，就是在线性回归的基础上加上 l2 -norm的约束，loss function是（习惯上一般会去掉前面线性回归目标函数中的常数项 1n ，同时为了后面推导的简洁性会加上一个 12 ）：

JR(w)=12∥y−Xw∥2+λ2∥w∥2

有解析解：

w^R=(XTX+λI)−1XTy

其中 λ>0 是一个参数，有了正则项以后解就有了很好的性质，首先是对 w 的模做约束，使得它的数值会比较小，很大程度上减轻了overfitting的问题；其次是上面求逆部分肯定可以解，在实际使用中ridge regression的作用很大，通过调节参数 λ ，可以得到不同的回归模型。

实际上ridge regression可以用下面的优化目标形式表达：

minw12∥y−Xw∥2,s.t.∥w∥2<θ

也就是说，我依然优化线性回归的目标，但是条件是 w 的模长不能超过限制 θ 。上面两种优化形式是等价的，可以找到一 一对应的 λ 和 θ 。

稀疏约束，Lasso

先看一下几种范式(norm)的定义，

∥w∥2=(∑iwi2)1/2

∥w∥1=∑i|wi|

∥w∥0=∑i1(wi≠0)

如前面的ridge regression，对 w 做2范式约束，就是把解约束在一个 l2 -ball里面，放缩是对球的半径放缩，因此 w 的每一个维度都在以同一个系数放缩，通过放缩不会产生稀疏的解——即某些 w 的维度是0。而实际应用中，数据的维度中是存在噪音和冗余的，稀疏的解可以找到有用的维度并且减少冗余，提高回归预测的准确性和鲁棒性（减少了overfitting）。在压缩感知、稀疏编码等非常多的机器学习模型中都需要用到稀疏约束。

稀疏约束最直观的形式应该是约束0范式，如上面的范式介绍， w 的0范式是求 w 中非零元素的个数。如果约束 ∥w∥0≤k ，就是约束非零元素个数不大于k。不过很明显，0范式是不连续的且非凸的，如果在线性回归中加上0范式的约束，就变成了一个组合优化问题：挑出 ≤k 个系数然后做回归，找到目标函数的最小值对应的系数组合，是一个NP问题。

有趣的是， l1 -norm（1范式）也可以达到稀疏的效果，是0范式的最优凸近似，借用一张图[1]：

很重要的是1范式容易求解，并且是凸的，所以几乎看得到稀疏约束的地方都是用的1范式。

回到本文对于线性回归的讨论，就引出了Lasso(least absolute shrinkage and selection operator) 的问题：

minw12∥y−Xw∥2,s.t.∥w∥1<θ

也就是说约束在一个 l1 -ball里面。ridge和lasso的效果见下图：

红色的椭圆和蓝色的区域的切点就是目标函数的最优解，我们可以看到，如果是圆，则很容易切到圆周的任意一点，但是很难切到坐标轴上，因此没有稀疏；但是如果是菱形或者多边形，则很容易切到坐标轴上，因此很容易产生稀疏的结果。这也说明了为什么1范式会是稀疏的。

Lasso稀疏性的进一步理解：

类似Ridge，我们也可以写出Lasso的优化目标函数：

JL(w)=12∥y−Xw∥2+λ∑i|wi|

根据一般的思路，我们希望对 JL(w) 求导数=0求出最优解，即 ▽JL(w)=0 ，但是 l1 -norm在0点是连续不可导的，没有gradient，这个时候需要subgradient：

定义1：记 f:U→R 是一个定义在欧式空间凸集 Rn 上的实凸函数，在该空间中的一个向量 v 称为 f 在点 x0∈U 的次梯度(subgradient)，如果对于任意 x∈U ,满足 f(x)−f(x0)≥v⋅(x−x0) 成立。

其中 ⋅ 是向量的点积。由在点 x0 处的所有subgradient所组成的集合称为 x0 处的subdifferential，记为 ∂f(x0) 。注意subgradient和subdifferential只是对凸函数定义的。例如一维的情况， f(x)=|x| ，在 x=0 处的 subdifferential就是 [−1,1] 这个区间（集合）。又例如下图中，在 x0 点不同红线的斜率就是表示subgradient的大小，有无穷多。

图 subgradient

注意在 x 的gradient存在的点，subdifferential 将是由gradient构成的一个单点集合。这样就将 gradient 的概念加以推广了。这个推广有一个很好的性质（condition for global minimizer）。以下部分参考了[3]，是浙大毕业去MIT的一个牛人的博客，看了以后自己再照着重写了一遍。

性质1：点 x0 是凸函数 f 的全局最小值，当且仅当 0∈∂f(x0) 。

很容易理解，看上面的图，在 x0 点不是全局最小值，因为subgradient不包含0，而原点0就是全局最小值。如果要证明也很显然，将 0∈∂f(x0) 带入前面的定义1中，就得到 f(x)≥f(x0) 。

为了方便说明，需要做一个简化假设，即数据 X 的列向量是orthonormal的[2,3]，即 XTX=I （当然没有这个假设Lasso也是可以运作的）。于是线性回归的最优解是

w∗=XTy

假设lasso问题 JL(w) 的全局最优解是 w¯∈Rn ，考察它的任意一个维度 w¯j ，需要分别讨论两种情况：

情况1：gradient存在的区间，即 w¯j≠0
由于gradient在最小值点=0，所以

∂JL(w)∂wj∣∣∣w¯j=0

所以

−(XTy−XTXw¯)j+λ⋅sgn(w¯j)=0

其中 λ≥0 。所以

w¯j=w∗j−λ⋅sgn(w¯j)

很容易看出， w¯j和w∗j 是同号的，因此可以得出

w¯j=w∗j−λ⋅sgn(w¯j)=sgn(w∗j)(|w∗j|−λ)(|w∗j|−λ)=|w¯j|≥0

最后得到

w¯j=sgn(w∗j)(|w∗j|−λ)+

其中 (x)+ 表示取 x 的正数部分； (x)+=max(x,0) 。

情况2：gradient不存在，即 w¯j=0
根据前面的性质1，如果 w¯j 是最小值，则

0∈∂JL(w¯)=−(XTy−XTXw¯)+λ⋅e=w¯−w∗+λ⋅e

其中 e 是一个向量，每一个元素 ej∈[−1,1] ，使得 0=−w∗j+λ⋅ej 成立。因此

|w∗j|=λ|ej|≤λ

所以和情况（1）和（2）可以合并在一起。所以呢，如果在这种特殊的orthonormal情况下，我们可以直接写出Lasso的最优解：

w¯j=sgn(w∗j)(|w∗j|−λ)+

OK，再回顾一下前面的ridge regression，如果也考虑上面说的orthonormal情况下，可以很容易得出最优解为

w^R=11+λw∗

很容易得出结论，ridge实际上就是做了一个放缩，而lasso实际是做了一个soft thresholding，把很多权重项置0了，所以就得到了稀疏的结果！

除了做回归，Lasso的稀疏结果天然可以做机器学习中的另外一件事——特征选择feature selection，把非零的系数对应的维度选出即可，达到对问题的精简、去噪，以及减轻overfitting。

上面是做了简化后的讨论，实际中lasso求解还要复杂的多。在下一篇文章中，将描述和Lasso非常相关的两种方法，forward stagewise selection和最小角回归least angle regression（LARS），它们三者产生的结果非常接近（几乎差不多），并且都是稀疏的，都可以做feature selection。有的时候就用Lars来作为Lasso的目标的解也是可以的。

参考资料

[1] http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
[2] The elements of statistical learning, ch3
[3] http://freemind.pluskid.org/machine-learning/sparsity-and-some-basics-of-l1-regularization/
[4] http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Subderivative&redirect=no#The_subgradient