聚类算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut

聚类算法是ML中一个重要分支，一般采用unsupervised learning进行学习，本文根据常见聚类算法分类讲解K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut五个算法在聚类中的应用。

Clustering Algorithms分类

1. Partitioning approach:

        建立数据的不同分割，然后用相同标准评价聚类结果。（比如最小化平方误差和）

        典型算法：K-Means, K-Medoids

2. Model-based:

       对于每个类假定一个分布模型，试图找到每个类最好的模型

       典型算法：GMM（混合高斯） 

3. Dimensionality Reduction Approach:

       先降维，再聚类

       典型算法：Spectral clustering，Ncut

下面分别解析~

1. Partitioning approach

1.目标：

       找出一个分割，使得距离平方和最小

2.方法：

       Global optimal : 枚举所有partition

       Heuristic method：K-Means, K-Medoids

3.K-Means算法：

       1. 将数据分为k个非空子集

       2. 计算每个类中心点（k-means<centroid>中心点是所有点的average），记为seed point

       3. 将每个object聚类到最近seed point

       4. 返回2，当聚类结果不再变化的时候stop

复杂度：

       O（kndt）

       -计算两点间距离：d

       -指定类：O(kn)   ,k是类数

       -迭代次数上限：t

4.K-Medoids算法:

       1. 随机选择k个点作为初始medoid

       2.将每个object聚类到最近的medoid

       3. 更新每个类的medoid，计算objective function 

       4. 选择最佳参数

       4. 返回2，当各类medoid不再变化的时候stop

复杂度：

       O（(n^2)d）

       -计算各点间两两距离O（(n^2)d）

       -指定类：O(kn)   ,k是类数

5.特点：

       -聚类结果与初始点有关（因为是做steepest descent from a random initial starting oint）

       -是局部最优解

       -在实际做的时候，随机选择多组初始点，最后选择拥有最低TSD（Totoal Squared Distance）的那组

6. KMeans和KMedoid的实现

2. Model-based——GMM（Gaussian Mixture Model）

1.GMM概念：

          -将k个高斯模型混合在一起，每个点出现的概率是几个高斯混合的结果。

          -假设有K个高斯分布，每个高斯对data points的影响因子为πk，数据点为x，高斯参数为theta，则

          -要估计的模型参数为每个类的影响因子πk，每个类的均值（μk）及协方差矩阵（Σk）

2. GMM的似然函数：

          log-likelihood function:

          假设N个点的分布符合i.i.d，则有似然函数

          问题是，对于这样的一个似然函数，用gradient descent的方法很难进行参数估计（可证明）

          所以用前面我们讲过的EM（expectation maximization）算法进行估计：

          引入中间latent项z(i)，其分布为Q,用EM算法，就有上面的恒等，那么为什么是恒等呢？来看看讲EM的这篇文章，第三张的开头写的，=constant，也就是说与z(i)无关了，而等于p(x(i)；theta)，这也就是说可以用混合高斯模型的概率表示了。

3. EM具体应用到GMM参数求解问题：

E-step: 根据已有observed data和现有模型估计missing data：Qi(zk)

M-step: 已经得到了Q，在M-step中进行最大似然函数估计（可以直接用log-likelihood似然函数对参数求偏导）

4. GMM的实现

5. K-Means与GMM的比较：

          

          -KMeans：

1. Objective function：§Minimize the TSD

2. Can be optimized by an EM algorithm.

          §E-step: assign points to clusters.

          §M-step: optimize clusters.

          §Performs hard assignment during E-step.

3. Assumes spherical clusters with equal probability of a cluster.

          -GMM：

1. Objective function：§Maximize the log-likelihood.

2. EM algorithm：

          §E-step: Compute posterior probability of membership.

          §M-step: Optimize parameters.

          §Perform soft assignment during E-step.

3. Can be used for non-sphericalclusters. Can generate clusterswith different probabilities.

3. Dimensionality Reduction Approach: Spectral Clustering 

1. Spectral clustering要解决的问题：

上面的KMeans不能能解决一些问题，如图所示：

而这种问题可以通过谱聚类（spectral clustering）解决。将数据展开到两个特征向量空间，即得：

下面我们介绍谱分解的算法~

2.clustering objectives:

          将边权赋值为两点之间的similarity，做聚类的目标就是最小化类间connection的weight。

比如对于下面这幅图，分割如下

          但是这样有可能会有问题，比如：

由于Graph cut criteria 只考虑了类间差小，而没考虑internal cluster density.所以会有上面分割的问题。这里引入Normalised-cut(Shi & Malik, 97')。

3. 改进版：Ncut

          -consider the connection between groups relative to the density of each group:

          其中，vol 是每个group的volume，也就是normalize by group volume.

          最后的目标是最小化Ncut(A,B).

4. Ncut 的求解：

          -Matrix Representation:

          -Objective Function of Ncut:

详见wiki上的求解过程，这里不再赘述。