【算法】Dancing Links (DLX) I
1.概述
Dacing Links (DLX) 算法是Donald Knuth [2]提出，用以解决精确覆盖（exact cover）问题，是X算法在计算机上的优化。
1.1 精确覆盖问题
所谓精确覆盖，是指两两不相交的子集的集合，这些子集的并集可以得到全集。完整的定义 [1]如下：
在一个全集X中若干子集的集合为S，精确覆盖是指，S的子集S*，满足X中的每一个元素在S*中恰好出现一次。
举例：令 S = {N, O, E, P} 是集合X = {1, 2, 3, 4}的一个子集，并满足：
N = { }
O = {1, 3}
E = {2, 4}
P = {2, 3}.
其中一个子集 {O, E} 是 X的一个精确覆盖,因为 O = {1, 3} 而 E = {2, 4} 的并集恰好是 X = {1, 2, 3, 4}。同理， {N, O, E} 也是 X 的一个精确覆盖。
用关系矩阵来表示S的每个子集与X的元素之间包含关系，矩阵每行表示S的一个子集，每列表示X中的一个元素。矩阵行列交点元素为1表示对应的元素在对应的集合中，不在则为0。
精确覆盖问题转化成了求矩阵的若干个行的集合，使每列有且仅有一个1。S* = {B, D, F} 便是一个精确覆盖。
1.2 双向十字链表
实现DLX算法的数据结构是双向十字链表，现在先简单介绍一下双向十字链表。
双向十字链表用LRUD来记录，LR来记录左右方向的双向链表，UD来记录上下方向的双向链表。比如，对6*7矩阵
用双向十字链表可以表示如下：
其中，h代表总的头链表head，ABCDEFG为列的指针头。
双向十字链表可以用数组来加以模拟。对4*4的01矩阵（[4]中的一个例子）
1 1 0 0
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 1 0
LRUD的双向十字链表结构如下：
1.3 DLX算法描述
对精确覆盖问题，容易想到一个启发式的递归算法：（1）选中关系矩阵A的列c，则满足A(i, c)=1的行i均不可用，删除列c与所有的行i；（2）对选中的列c，选中行r满足A(r, c)=1；则满足A(r, j)=1的列j也均不可用，删除行与所有的列j；（3）对删除后的A进行递归（1）（2）处理。
上述非确定算法即是X算法，伪代码如下：
如果A是空的，问题解决；成功终止。
否则，选择一个列c（确定的）。
选择一个行r，满足 A[r, c]=1 （不确定的）。
把r包含进部分解。
对于所有满足 A[r,j]=1 的j，
从矩阵A中删除第j列；
对于所有满足 A[i,j]=1 的i，
从矩阵A中删除第i行。
在不断减少的矩阵A上递归地重复上述算法。
对X算法的优化一：在X算法的步骤（2）中选择的行r有可能是错的，为了减少递归次数，则需要回溯。为了便于X算法中有查找、删除等操作以及回溯，可采用双向十字链表。假设x 指向双向链的一个节点；L[x] 和R[x] 分别表示x 的前驱节点和后继节点。每个程序员都知道如下操作：
将x 从链表删除的操作。但是只有少数程序员意识到如下操作：
对X算法的优化二：在选择列c时，应选择的是A中所有列中1元素最少的一列。至于为什么选择最少的一列，不在本文讨论之列。如果去掉优化二，写的代码很有可能TLE。
为建立关系矩阵A的双向十字链表、加快运行速度。对每一个对象，记录如下几个信息：
- L[x], R[x], U[x], D[x], C[x]；LR来记录左右方向的双向链表，UD来记录上下方向的双向链表；C[x]是指向其列指针头的地址，即表示x所在的列。
- head指向总的头指针，head通过LR来贯穿的列指针头。
- 每一列都有列指针头。行指针头可有可无，为了更方便地建立左右方向的双向链表，加个行指针头还是很有必要的。
- 另外，开两个数组S[x], O[x]；S[x]记录列链表中结点的总数，O[x]用来记录搜索结果。
DLX算法的伪代码如下：
其中，R[h]=h即表示A为空，cover column操作即为X算法中步骤（1），uncover colunm操作即为回溯。关于DLX算法的演示过程请参看[6]。
DLX算法的C代码：
/*remove column c and all row i that A(i,c)==1*/
void re_move(int c)
{
int i,j;
L[R[c]]=L[c]; //remove column c
R[L[c]]=R[c];
for(i=D[c];i!=c;i=D[i]) //remove row i that (i,c)==1
for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
{
U[D[j]]=U[j];
D[U[j]]=D[j];
S[C[j]]--; //decrease the count of column C[j]
}
}
/*backtrack, resume*/
void resume(int c)
{
int i,j;
for(i=U[c];i!=c;i=U[i])
for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
{
S[C[j]]++;
U[D[j]]=j;
D[U[j]]=j;
}
L[R[c]]=c;
R[L[c]]=c;
}
int dfs(int depth)
{
int i,j,c,min=20;
if(R[0]==0) return 1; //the matrix A is empty
for(i=R[0];i!=0;i=R[i]) //select the column c which has the fewest number of element
if(S[i]<min)
{
min=S[i];
c=i;
}
re_move(c);
for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
{
O[depth]=i; //record the result
for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
re_move(C[j]);
if(dfs(depth+1)) return 1;
for(j=L[i];j!=i;j=L[j]) //backtrack
resume(C[j]);
}
resume(c);
return 0;
}
2. Referrence
[1] 维基百科，精确覆盖问题.
[2] Donald Knuth, Dancing Links.
[3] 吴豪，隋清宇（sqybi），Dancing Links中文版.
[4] momodi， Dancing Links在搜索中的应用.
[5] mu399，简单易懂的Dancing links讲解（1）.
[6] mu399，简单易懂的Dancing links讲解（2）.
3. 问题
3.1 POJ 3740
用到了行指针头H[ ]，以建立左右方向的双向链表，采用的是头插法。
O[ ] H[ ]数组开成了16， TLE了3次。O[ ] 应该开成最多列数300，H[ ]应该开成17。
源代码：
| 3740 | Accepted | 212K | 266MS | C | 1665B | 2013-10-24 22:14:13 |
#include "stdio.h"
#include "string.h"
#define MAX 5000
int L[MAX],R[MAX],U[MAX],D[MAX],C[MAX],S[300],O[300],H[17];
int m,n;
/*remove column c and all row i that A(i,c)==1*/
void re_move(int c)
{
int i,j;
L[R[c]]=L[c]; //remove column c
R[L[c]]=R[c];
for(i=D[c];i!=c;i=D[i]) //remove row i that (i,c)==1
for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
{
U[D[j]]=U[j];
D[U[j]]=D[j];
S[C[j]]--; //decrease the count of column C[j]
}
}
/*backtrack, resume*/
void resume(int c)
{
int i,j;
for(i=U[c];i!=c;i=U[i])
for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
{
S[C[j]]++;
U[D[j]]=j;
D[U[j]]=j;
}
L[R[c]]=c;
R[L[c]]=c;
}
int dfs(int depth)
{
int i,j,c,min=20;
if(R[0]==0) return 1; //the matrix A is empty
for(i=R[0];i!=0;i=R[i]) //select the column c which has the fewest number of element
if(S[i]<min)
{
min=S[i];
c=i;
}
re_move(c);
for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
{
O[depth]=i; //record the result
for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
re_move(C[j]);
if(dfs(depth+1)) return 1;
for(j=L[i];j!=i;j=L[j]) //backtrack
resume(C[j]);
}
resume(c);
return 0;
}
void init()
{
int i,j,temp,count;
for(i=1;i<=n;i++) //初始化列的指针头
{
L[i]=i-1; R[i]=i+1;
U[i]=i; D[i]=i;
C[i]=i;
}
L[0]=n; R[0]=1;
R[n]=0;
memset(H,-1,sizeof(H));
memset(S,0,sizeof(S));
count=n+1;
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&temp);
if(!temp) continue;
if(H[i]==-1) //为行i的第一个非零元素
H[i]=L[count]=R[count]=count;
else
{
L[count]=L[H[i]]; R[count]=H[i]; //连接同一行的左右节点
R[L[H[i]]]=count; L[H[i]]=count;
}
U[count]=U[j]; D[count]=j; //连接同一列的上下节点
D[U[j]]=count; U[j]=count;
C[count]=j; //该节点属于列j
S[j]++;
count++;
}
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
{
init();
if(dfs(0))
printf("Yes, I found it\n");
else
printf("It is impossible\n");
}
return 0;
}