陶哲轩实分析 习题解答 3.2

陶哲轩实分析 习题解答

习题 3.2

这一小节只有三道习题。不过却花了我很长的时间。主要是被这本书关于正则公理的中文翻译给坑了。
书中正则公理是这么表达的：如果 A 是一个非空的集合，那么 A 至少有一个元素 x ，要么 x 不是集合，要么 x 是与 A 不同的集合。
“ x 是与 A 不同的集合” 我理解为 x≠A ，实际上正则公理说的是 x⋂A=∅ ….

3.2.1

(1) 证明万有分类公理蕴含公理 3.2

构造一个性质 P(x) 这个性质恒为假。那么 {x:P(x)} 就是 空集 ∅ 。

(2) 证明万有分类公理蕴含公理 3.3

构造一个性质

P(x)={truefalsex=aother

那么 {x:P(x)} 就是单点集 {a} 。

构造一个性质

P(x)={truefalsex=a or x=bother

那么 {x:P(x)} 就是双元素集 {a,b} 。

(3) 证明万有分类公理蕴含公理 3.4

构造一个性质

P(x)={truefalsex∈A or x∈Bother

那么 {x:P(x)} 就是集合 A⋃B 。

(4) 证明万有分类公理蕴含公理 3.5

构造一个性质

Q(x)={truefalsex∈A and P(x)=trueother

那么 {x:Q(x)} 就是集合 {x∈A:P(x)为真} 。

(5) 证明万有分类公理蕴含公理 3.6

构造一个性质

Q(y)={truefalse∃x∈A 使得 P(x,y)=trueother

那么 {x:Q(x)} 就是集合 {y:P(x,y)对于某个x∈A成立} 。

3.2.2

(1) 证明 A∉A

反证法：假如存在一个集合 A 使得 A∈A 成立。
那么由于 A∈A 且 A∈{A}
所以 A⋂{A}={A}
而正则公理要求 A⋂{A}=∅
出现矛盾，所以不存在这样的集合 A 。

(2) 如果 A 和 B 是集合，那么要么 A∉B 要么 B∉A ，或者二者同时成立。

反证法：
假设 A∈B 和 B∈A 同时成立。
由于 A∈{A,B} 和 A∈B 所以
{A,B}⋂B={A}
同理：
{A,B}⋂A={B}

与正则公理矛盾，正则公理要求至少有一个 x 满足 {A,B}⋂x=∅ 。

3.2.3

（1）构造性质 P(x) 使得对于任何 x , P(x) 始终为真。那么 {P(x)} 就是万有集合 Ω 。

（2）如果存在万有集合 Ω ， 那么任何公理3.8生成的集合 {P(x)} 都可以由分类公理构造 {x∈Ω:P(x)} 。