NOIP2014初赛总结

本次比赛中唯一没做出来的题是问题求解的第一题，以及一道虽然做出来了但是没有严谨证明的题。这两道题虽然现在，通过问学长自己研究等方式我差不多已经解决了，但确是非常值得我思考、学习和总结的。（小序号标注的是我需要重点消化的内容）
        一、题意：从1、1、2、4、8、8中取4个数的不同排列数。
        事实上，在考场上的时候，我把这道题想的过于简单了。。直接看成了在这6个数中取6个的不同排列数，所以算的非常丧心病狂。
        --①这是不应该的，我应该仔细审题；当然，这也有很大一部分原因出于我对排列组合的不熟练。
当然，就算我看懂了题意，我恐怕也是做不对的。。所以，在分数上我是不后悔的——但这其实没有任何意义，后悔的必要性是存在且必须存在的。
        对于这道题，凭借我有限的做排列组合的经验，我本来打算用正难则反的思路：先把两个重复的1和8看成是地位相等的不同量，求全排列然后减去其重复的计算的量，即ans=P(4,6)-（带1 的个数）/2-（带8的个数）/2+（被多减的部分）。然后在这里我首先搞错了一个问题即：
        --②带1的个数≠带第一个1的个数+带第二个1的个数，尽管两个1是地位相等的。如果用Venn图来想的话，就是A={带第一个1的排列},B={带第二个1的排列}，A∩B≠∅且A∩CuB≠∅，即二者地位相等交集非空且其之间不存在包含关系，亦即二者为同时具有共有元素和私有元素的两个集合。这点在后面还会提及和讨论。
        然后通过容斥原理，我们可以正确的算出带1的个数了，然后我们会到原式，我们发现（被多减的部分）这一项好像非常难以确定，因为以类似上述方式展开的话会得到一个很大很大的式子。。。于是我们发现这样做是困难的。
        如果正难则反是困难的话，让我们考虑一下正面的做法：
        做法一：暴搜。
        --③这是非常好的一个算法，也是非常需要我学习和接受的，在相当多的时候，写一个暴搜总比拿蛋强，而且暴搜写起来也是有艺术的。小浩浩就用暴搜做出来了这道题，但是换位思考，如果是我的话，我是绝对不会暴搜的。我应该从这之中学到些什么，学会暴搜，学会接受暴搜。
        比如在暴搜的过程中，其实我们就可以发现一些事情：
        做法二：对暴搜的改进=>分类。
        我问了faebdc学长和学姐这道题，他们的思路基本一致。当然，faebdc学长的思路要比学姐清晰很多；他一上来就明确的提出：这是对暴搜的改进。
        我们发现对此题造成奇怪影响的两个量是1和8，而它们的个数也只有两个而已，我们要组成的是一个四位数。那么正面考虑的话，就分类好了：考虑1选0个、1个、2个的情况，分别对应8选2个、1个和2个、0个和1个和2个，这样的话就转变成许多简单的小问题了，然后把它们都加起来就好了。
        --④若对n个元素全排列时有一组k个相同元素，实际上就等价于P(n,n)/P(k,k)=P(n,n-k)。
        1-0----8-2:P(4,4-2)=12
        1-1----8-2:2*P(4,4-2)=24
             ----8-1:P(4,4)=24
        1-2----8-2:2*C(3,1)=6
             ----8-1:2*P(4,4-2)=24
             ----8-0: P(4,4-2)=12
综上：ans=12+24+24+6+24+12=3*24+2*12+6=102
        二、在2n个元素同时查找最大最小值所需的最少比较次数？
        这道题的题意所指应为最坏情况下，因为若为最好情况的话，假设元素序列有序，则我们完全可以轻易得到2n-1的比较次数；即一遍扫过，只要最大值/最小值中的某一个被更新了，就没有比较另一个的意义了。但这道题的选项中没有2n-1，只有个比较接近的是2n-2。。所以我们考虑的应是最坏情况。
        既然是2n，显然是要二分的。。T(n)分出大小两组后组内比较只需要T(2n-2)。但这时我们想到一个问题，如果我们不断二分直到有一组元素个数为1，是否会取得更少的比较次数呢？
        若2n=2^k,k∈N，则T=-2+n+n+n/2+n/4+n/8……，n→+∞，T→3n-2...但如果n比较小、2n不为2的整数次幂该怎么办。。？
        于是考场上的时候。。我就举了好多例子。。n各种等，发现怎么等都是3n-2...于是我就对3n-2比较。。确定了，但是我其实还是不是很明白的。即使出了考场，也是花了很长时间也没有搞懂。。所以。。我就又问了学长。
        --⑤原来这题之所以可以二分优化，仅由于它是要同时找最大最小值，如果仅是找最大值或最小值的话，实际上比较次数必然是元素个数-1的，即使二分依然如是，亦即二分是没有意义的。而题目中，经过第一次二分后，在两组中要做的事情其实就仅仅是找最大/最小值了。