求最长回文子串

回文串，就是指正读和反读都一样的字符串，比如"level"或者"noon"等等。

那么，如何求一个字符串的最长回文子串（Longest Palindromic Substring）？这里我们有多种解法。

解法一：暴力法

暴力解法就是直接枚举所有子串，对每个子串判断是否为回文，时间复杂度为 O(n3) 。

这是最糟糕的方法，相信面试官问你这个问题，绝对不是想要这个答案。

解法二：动态规划法 O(n2)

动态规划法是在暴力解法上进行的优化。通过记录一些我们需要的东西，来避免暴力解法中很多重复的判断。

假设 dp[i][j] 表示子串 s[i...j] 是否是回文，那么对于动态规划表 dp 的打表方式如下：

• 初始化：
  

  ⎧⎩⎨dp[i][i]=truedp[i][i−1]=trueothers=fasle(0 <= i <= n-1)(1 <= i <= n-1) 

• 动态规划的状态转移方程：
  

  dp[i][j]=⎧⎩⎨dp[i+1][j−1],false,if s[i] == s[j]if s[i] ≠ s[j]

C++代码如下

string longestPalindrome(string s) {
    int len = s.size();
    if(len <= 1) return s;
    // 动态规划表，全部初始化为true
    vector<vector<bool>> dp(len, vector<bool>(len, true));

    int start = 0, maxlen = 0;
    for(int k=2; k<=len; ++k) {    // 枚举子串的长度
        for(int i=0; i<=len-k; ++i) {  // 枚举子串起始位置
            int j = i+k-1;
            if(s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1])
            {
                dp[i][j] = true;
                start = i;      // 记录回文子串的起点和长度
                maxlen = k;
            }
        }
    }

    return s.substr(start, maxlen);
}

解法三：中心扩展法 O(n2)

这个算法思想其实很简单，就是对给定的字符串S，分别以该字符串S中的每一个字符 c 为中心，向两边扩展，记录下以字符 c 为中心的回文子串的长度。时间复杂度为 O(n2) ，空间复杂度仅为 O(1) 。

但有一点需要注意的是，回文的情况可能是 a b a，也可能是 a b b a。

// 分别向左右扩展，返回扩展后的字符串
string expand(string s, int left, int right) {
    int len = s.size();
    while (left>=0 && right<len && s[left] == s[right]) 
    {
        left--;
        right++;
    }
    return s.substr(left+1, right-left-1);
}

// 求最长回文子串
string longestPalindrome(string s) {
    int len = s.size();
    if(len<=1) return s;

    string longest;
    for (int i=0; i<len-1; i++) 
    {
        string p1 = expand(s, i, i);  // 奇数
        if (p1.size() > longest.size())
            longest = p1;

        string p2 = expand(s, i, i+1);  // 偶数
        if (p2.size() > longest.size())
            longest = p2;
    }
    return longest;
}

另外，据说还有一个很巧妙的算法，叫Manacher算法，可以在 O(n) 的时间复杂度里求出最长回文子串。由于这个算法我没有研究过，在这里就不介绍了。

个人站点：http://songlee24.github.com