POJ 2941 Homogeneous Squares (数学)

比较有意思的数学题

题意：给个Ｎ×Ｎ的棋盘，定义了一个叫做独立的点集（包含Ｎ个点，每两个点都不在同一行，同一列），棋盘上有数字，判断是全部的N！个独立点集的和都相同。

Idea：

1.   搜索？N！的空间（N＝１０００），不行

2.   数学规律了（我直接去搜题解了），下面是ｃｏｐｙ的：

一个矩阵“Homogeneous” <==> 其所有2*2子矩阵都是“Homogeneous”

证明如下：

首先看一个2*2矩阵a[2][2],只要a[0][0]+ a[1][1] == a[1][0] + a[0][1]也就是a[0][1] - a[0][0] == a[1][1] - a[1][0]即可。

<==

对于n*n（n>=2）的矩阵，如果所有的2*2子矩阵都为“Homogeneous ”，那么可以得到a[i-1][j]- a[i-1][j-1] == a[i][j] - a[i][j-1] == kj（n > j > 0, n > i > 0）,也就是说这个差是与i无关，那么，原始矩阵a可以写成两个矩阵b,c的和。b[i][0]= a[i][0](n > i >= 0)，其他元素为0; c[i][j] = sum(kj),(n > j > 0).这样c的每一行元素都一样，每次取a的一个序列（index_0,index_1...index_(n-1)）时，它们的和必然相同，因为这个和衡等于sum(b[i][0])＋sum(ki) （n > i >= 0）。

==>

如果一个矩阵"Homogeneous ",b的定义和上面一样，c = a - b;显然c[i][0]= 0(n > i >= 0) 那么如果c[i1][j]!= c[i2][j] (n > i1, i2 >= 0, n > j > 0, i1 != i2)，那么在选择a的0,j两列的元素时候，第一次选择a[i1][0],a[i2][j],第二次选择a[i2][0],a[i1][j]，其他列元素不变，显然矛盾（因为a[i1][0]== a[i2][0] == 0）. 所以c[i1][j]== c[i2][j]。

 

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其实证明画个图就好理解了，还是很有意思的数学题～

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#include <string>
#define OP(s) cout<<#s<<"="<<s<<" ";
#define PP(s) cout<<#s<<"="<<s<<endl;
using namespace std;

int main()
{
    freopen("test.txt","r",stdin);
    static int a[1010],b[1010];
    static char s[3010];
    int N;
    while (scanf("%d",&N),N)
    {
        a[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= N; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i] = a[i] - a[i-1];
        }

        bool ans = true;
        for (int i = 2; i <= N; i++)
        {
            if (ans)
                for (int j = 1; j <= N; j++)
                {
                    scanf("%d",&a[j]);
                    if (j != 1)
                    {
                        if (a[j] - a[j-1] != b[j]) ans = false;
                    }
                }
            else {getchar();gets(s);}
        }

        if (ans) printf("homogeneous\n");
        else printf("not homogeneous\n");
    }

    return 0;
}