跳跃表解析

为什么选择跳表

目前经常使用的平衡数据结构有：B树，红黑树，AVL树，Splay Tree, Treep等。

 

想象一下，给你一张草稿纸，一只笔，一个编辑器，你能立即实现一颗红黑树，或者AVL树

出来吗？ 很难吧，这需要时间，要考虑很多细节，要参考一堆算法与数据结构之类的树，

还要参考网上的代码，相当麻烦。

 

用跳表吧，跳表是一种随机化的数据结构，目前开源软件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，

它的效率和红黑树以及 AVL 树不相上下，但跳表的原理相当简单，只要你能熟练操作链表，

就能轻松实现一个 SkipList。

 

有序表的搜索

考虑一个有序表：

 

从该有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比较的次数分别为 < 2, 4, 6 >，总共比较的次数

为 2 + 4 + 6 = 12 次。有没有优化的算法吗?  链表是有序的，但不能使用二分查找。类似二叉

搜索树，我们把一些节点提取出来，作为索引。得到如下结构：

 这里我们把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出来作为一级索引，这样搜索的时候就可以减少比较次数了。

 我们还可以再从一级索引提取一些元素出来，作为二级索引，变成如下结构：

 

  

 

     这里元素不多，体现不出优势，如果元素足够多，这种索引结构就能体现出优势来了。

 

跳表

下面的结构是就是跳表：

 其中 -1 表示 INT_MIN， 链表的最小值，1 表示 INT_MAX，链表的最大值。

 

 

注意：跳表具有如下性质：

(1) 由很多层结构组成

(2) 每一层都是一个有序的链表

(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素

(4) 如果一个元素出现在 Level i 的链表中，则它在 Level i 之下的链表也都会出现。

(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。

 

跳表的搜索

 

例子：查找元素 117

(1) 比较 21， 比 21 大，往后面找

(2) 比较 37,   比 37大，比链表最大值小，从 37 的下面一层开始找

(3) 比较 71,  比 71 大，比链表最大值小，从 71 的下面一层开始找

(4) 比较 85， 比 85 大，从后面找

(5) 比较 117， 等于 117， 找到了节点。

 

具体的搜索算法如下： 

 

 /* 如果存在 x, 返回 x 所在的节点，
  * 否则返回 x 的后继节点 */
 find(x)
 {
     p = top;
     while (1) {
         while (p->next->key < x)
             p = p->next;
         if (p->down == NULL)
             return p->next;
         p = p->down;
     }
 }

 

 

跳表的插入

先确定该元素要占据的层数 K（采用丢硬币的方式，这完全是随机的）

然后在 Level 1 ... Level K 各个层的链表都插入元素。

例子：插入 119， K = 2

 

如果 K 大于链表的层数，则要添加新的层。

例子：插入 119， K = 4

丢硬币决定 K

插入元素的时候，元素所占有的层数完全是随机的，通过一下随机算法产生：

 

 int random_level()
 {
     K = 1;

     while (random(0,1))
         K++;

     return K;
 }

 

相当与做一次丢硬币的实验，如果遇到正面，继续丢，遇到反面，则停止，

用实验中丢硬币的次数 K 作为元素占有的层数。显然随机变量 K 满足参数为 p = 1/2 的几何分布，

K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是说，各个元素的层数，期望值是 2 层。

 

 

跳表的高度。

n 个元素的跳表，每个元素插入的时候都要做一次实验，用来决定元素占据的层数 K，

跳表的高度等于这 n 次实验中产生的最大 K，待续。。。

 

跳表的空间复杂度分析

根据上面的分析，每个元素的期望高度为 2， 一个大小为 n 的跳表，其节点数目的

期望值是 2n。

 

跳表的删除

在各个层中找到包含 x 的节点，使用标准的 delete from list 方法删除该节点。

例子：删除 71

跳跃表算法解析：

查找

为了找到要查找的值，我们逐次遍历forward pointer。
当指针在level 1层不能继续前进时，我们肯定在需要节点的前一个节点处（如果链表中存在要查找的节点）

Search(list, searchKey)
  x := list->header
  //loop invariant: x->key < searchKey
  for i := list->level downto 1 do
    while x->forward[i]->key < searchKey do
      x := x->forward[i]
  //x->key < sarchKey <= x->forward[1]->key
  x := x->forward[1]
  if x->key = searchKey then rturn x->value
  else return failure

随机选择层数

之前讨论时层数的选择是按照1/2(p=1/2)的概率选择的，p可以取[0, 1)间的任意值，算法如下所示。

randomLevel() |v| : =1 //random()that returns a random value in [0..1) while random() < p and |v| < MaxLevel do |v| := |v| + 1 return |v|

Insert(list, searchKey, newValue) local update[1..MaxLevel] x : =list->header for i := list->level donwto 1 do while x->forward[i]->key < searchKey do x := x->forward[i] //x->key < searchKey <= x->forward[i]->key update[i] := x x := x->forward[1] if x->key = searchKey then x->value := newValue else |v| := randomLevel() if |v| > list->level then for i := list->level + 1 to |v| do update[i] := list->header list->level := |v| x := makeNode(|v|, searchKey, value) for i := 1 to level do x->forward[i] := update[i]->forward[i] update[i]->forward[i] := x

Delete(list searchKey) local update[1..MaxLevel] x := list->header for i := list->level downto 1 do while x->forward[i]->key < searchKey do x := x->forward[i] update[i] := x x := x->forward[1] if x->key = searchKey then for i := 1 to list->level do if update[i]->forward[i] != x then break update[i]->forward[i] := x->forward[i] free(x) while list->leve > 1 and list->header->forward[list->level] = NULL do list->level := list->level - 1

结论

从理论的角度看，skiplist是完全没有必要的。Skip lists能做的事情平衡树也同样能做，并且在最坏情况下的时间复杂度比Skip lists要好。但是实现平衡树却是一项复杂的工作，除了在数据结构课程上实现平衡树外，实际应用中很少会实现它。

作为一种简单的数据结构，在大多数应用中Skip lists能够代替平衡树。Skip lists算法非常容易实现、扩展和修改。Skip lists和进行过优化的平衡树有着同样高的性能，Skip lists的性能远远超过未经优化的平衡二叉树。

参考地址：

http://kenby.iteye.com/blog/1187303

http://blog.nosqlfan.com/html/3041.html