BZOJ 3157 国王奇遇记 & BZOJ 3516 国王奇遇记加强版

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3157

题意：求 ∑ni=1im∗mimod109+7 。 n≤109,m≤1000 。

题解：
若 m=1 ，显然答案为 n∗(n+1)2 。
否则令 Sk=∑ni=1ik∗mi 。
显然 S0=∑ni=1mi=mn+1−mm−1 。
考虑 Sk ：
(m−1)∗Sk=∑ni=1ik∗mi+1−∑ni=1ik∗mi=∑n+1i=1(i−1)k∗mi+1−∑ni=1ik∗mi=nk∗mn+1+∑ni=1((i−1)k−ik)∗mi=nk∗mn+1+∑ni=1∑k−1j=0(−1)k−j∗(kj)∗ij∗mi=nk∗mn+1+∑k−1j=0(−1)k−j∗(kj)∗∑ni=1ij∗mi=nk∗mn+1+∑k−1j=0(−1)k−j∗(kj)∗Sj
因为 109+7 是质数，所以 (m−1,109+7)=1 ，有逆元，可以快速计算 Smmod109+7 ，时间复杂度 O(m2logn) 。

代码：

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int mod = 1000000007, maxm = 1001;
int n, m, c[maxm][maxm], s[maxm];
inline int pow(int x, int k)
{
    int ret = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) ret = (LL)ret * x % mod;
        x = (LL)x * x % mod;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if(m == 1)
    {
        printf("%d\n", ((LL)n * (n + 1) / 2) % mod);
        return 0;
    }
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        c[i][0] = c[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j)
        {
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
            if(c[i][j] >= mod) c[i][j] -= mod;
        }
    }
    int inv = pow(m - 1, mod - 2);
    s[0] = ((LL)pow(m, n + 1) - m + mod) * inv % mod;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        s[i] = (LL)pow(n, i) * pow(m, n + 1) % mod;
        for(int j = 0; j < i; ++j)
        {
            s[i] = (s[i] + ((i - j) & 1 ? -1 : 1) * (LL)c[i][j] * s[j]) % mod;
            if(s[i] < 0) s[i] += mod; 
        }
        s[i] = (LL)s[i] * inv % mod;
    }
    printf("%d\n", s[m]);
    return 0;
}