并查集的学习笔记

今天主要是给MTS做了一个准备，重点学习了并查集。

什么是并查集？

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。（摘自百度百科）

并查集中，每个集合里的元素一般都是有某种关系的，比如连接关系：假设最初a， b 和 c 都是独立的点，后来a 与 b 相连，b又 与 c 相连，那么我们说a 可以到 c，相当于a 与 c相连，我们可以把a， b 和c放到一个集合里去，也就是将三个集合合并；再假设有，a 和 b组成集合A， c和d 组成集合B，如果在实际的应用中， a 和c是一组，我们要把它们以及与它们想关联的点放到一个集合中，那么我就要查询a 和 c 都分别属于哪一个集合，然后才知道把哪两个集合合并。

用森林来表示并查集的时候，每一个集合的名称就是相应森林的根。所以，在此我们表示并查集的时候，可以把每个点都与根相连，用数组father来存储一个点的前驱，这个前驱经常是相应的根。

一般情况下，我们会初始化并查集（这里就是指用森林来表示的时候），将每个结点都认为是独立的，是一个森林，根就是这个结点本身。

然后，根据数据情况，进行查询与合并：这里查询的主要目的是查询这个点应该属于哪个森林，也就是查询它所属森林的根，这里可以用递归来查询；合并，就是将两个集合的根相连，也就是使得其中一个集合的根成为另一个集合的祖先，“father[ B的根 ] = A的根”， 那么B的根的前驱就是A的根。

在这里，我们用father【】来表示一个节点前驱，findFather（ ） 这函数（我们简称F）是用来查找集合的根，并且更新点的前驱，使得father【i】中存储的数据是它所在集合的根，这样为之后查询提供方便。那么合并我们用函数Union（）（我们之后简称U）来实现，U中也有对father【】的更新，但是值得区别的是，在U中的更新主要是为了合并，如果不合并，那么这个点或者这个集合就不会被加入另一个集合中了；但是，在F中，对于father【x】的更新改变了x的前驱，使得x的前驱就是集合的根，如果不更新，这个x点也是和这个集合中其他点相连，在这个集合内的，更新之后可以便于之后的查找。

另外，还要注意的是，尽管我们在每次调用F的时候，都会对相应的点的前驱进行调整，但是还是不能时刻保证father【】中的值每时每刻都是该点所在集合的根，原因是每一次你去找合并两个集合的时候，只是做了两个操作，第一是找出两个集合的根，第二是把集合连起来，在你找到根的时候，你只是把原来集合中的点的前驱都改成了未合并之前的集合的根，但是在做了第二操作——合并之后，新的集合的根是原来两个集合中的一个，这就说明这新的集合中有一些点（属于原来两个集合中的一个）的前驱还是未合并时它们所属集合的根。因此要注意的是，在查找根的时候的还是要用F来做，不要混淆father与F的作用（father用来存储前驱结点）。

HUD的1232畅通工程， 是就一个典型的用并查集来解决的问题。

题目：给定一个无向图，求需要至少再加多少条边才能使所有的点连通。

分析：那么应用上述提及的并查集，就是把连在一起的点当做是一个集合，建立“森林”后，看有多少个集合，集合数减1就是要曾加的边的数目。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
int father[1010];
bool flag[1010];
int n, m, s, e;
void init() {
        for ( int i = 1; i <= n; ++i ) father[i] = i;
        memset(flag, false, sizeof(flag) );
}
int findFather( int x ) {
        if ( x != father[x] )
                father[x] = findFather( father[x] );
        return father[x];
}
void Union( int a, int b ) {
        int x = findFather(a);
        int y = findFather(b);
        if ( x == y ) return;
        father[y] = x;
}
int main()
{
        while ( scanf("%d", &n) && n ) {
                scanf("%d", &m);
                init( );
                for ( int i = 1; i <= m; ++i ) {
                        scanf("%d%d", &s, &e);
                        Union( s, e );
                }
                //for ( int i = 1; i <= n; ++i ) printf( "%d  %d\n", i, father[i]);
                for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
                        flag[findFather(i)] = true;
                }
                int ans = 0;
                for ( int i = 1; i <= n; ++i )
                        if ( flag[i] ) ++ans;
                printf("%d\n", ans - 1 );
        }
}