斐波那契数列
1、写一个函数,输入n,求斐波那契数列的第n项。斐波纳挈数列的定义如下:
解法一:使用递归解决
long long RecurFibonacci(unsigned int n) { if (n <= 0) { return 0; } if (n == 1) { return 1; } return RecurFibonacci(n - 1) + RecurFibonacci(n - 2); }
分析:思路简单理解,但是效率很低,面试官不一定会喜欢。因为在进行递归时,会重复的计算。
解法二:非递归的解法(面试官期待的解法)
long long Fibonacci(unsigned int n) { long long fib[2] = { 0,1 }; if (n < 2) { return fib[n]; } long long fibOne = 0;//保留Fibonacci(n-2) long long fibTwo = 1;//保留Fibonacci(n-1) long long fibN = 0;//第n个Fibonacci序列的结果 for (unsigned int i = 2; i <= n; i++) { fibN = fibOne + fibTwo; fibOne = fibTwo; fibTwo = fibN; } return fibN; }
分析:程序的可读性虽然比较差,但是其效率很高。
测试代码:
#include<iostream> #include<Windows.h> using namespace std; int main() { int start = GetTickCount();//从操作系统启动所经过(elapsed)的毫秒数 RecurFibonacci(40); int end = GetTickCount(); cout <<"递归解法:"<< end - start << endl; start = GetTickCount(); Fibonacci(40); end = GetTickCount(); cout << "非递归解法:" << end - start << endl; getchar(); return 0; }
2、跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解法分析:
最简单的情况:
如果只有1级台阶,那么显然只有一种跳法。如果有2级台阶,那么则会有2种跳法:一种是分两次跳,每次跳1阶;另外一种则是一次跳2级。
一般情况:
当n大于2时,第一次跳的时候有两种选择:一种是第一次只跳1阶,此时的跳法就是f(n-1),另外一种跳法就是第一次跳2阶,然后此时的跳法就是f(n-2)。所以总的次数就是f(n)=f(n-1)+f(n-2);很明显此时是一个斐波那契数列。
long long jumpFloor( unsigned int number) { unsigned int jump[2] = { 0,1 }; if (number < 2) { return jump[number]; } long long jumpOne = 1; long long jumpTwo = 1; long long jumpN = 0; //n>2时为斐波那契数列 //跳一阶则方法为jumpFloor(n-1) //跳两阶则方法为jumpFloor(n-2) for (unsigned int i = 2; i <= number; i++) { jumpN = jumpOne + jumpTwo; jumpOne = jumpTwo; jumpTwo = jumpN; } return jumpN; }
3、变态跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解法分析:
使用数学归纳法:
1)当n为1的时候,只有1种跳法
2)当n为2的时候,可以有(1,1)和(2)共2种跳法
3)当n为3的时候,可以有(1,1,1)、(1,2)、(2,1)、(3)共4种跳法
4)当n为4的时候,可以有(1,1,1,1)、(1、2、1)、(1、3)、(1、1、2)、(2,1,1)、(2,2)、(3,1)、(4)共8种跳法
.......
由数学归纳法得f(n)=2的(n-1)次方。
long long jumpFloorII(unsigned int number) { if (number <= 0) { return 0; } return pow(2, number - 1); }
4、矩形覆盖
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?
解法分析:
假设当n为1的时候,只有1种覆盖方法
当n>2时,覆盖大矩形的最左边时有2种覆盖方法:当竖着放的时候右边还剩下2*(n-1)个区域,此时的覆盖方法为f(n-1);当横着放的时候,那么最左下角也必须横着放,那么右边还剩下2*(n-2)个矩形,此时的方法为f(n-2);总的方法为f(n)=f(n-1)+f(n-2),又是斐波纳挈数列。
long long rectCover(unsigned int number) { if (number < 1) { return 0; } long long stepOne = 0; long long stepTwo = 1; long long step = 0; for (unsigned int i = 1; i <= number; i++) { step = stepOne + stepTwo; stepOne = stepTwo; stepTwo = step; } return step; }