面试题的那些事（2）―斐波那契数列
斐波那契数列
1、写一个函数，输入n,求斐波那契数列的第n项。斐波纳挈数列的定义如下：
解法一：使用递归解决
long long RecurFibonacci(unsigned int n)
{
if (n <= 0)
{
return 0;
}
if (n == 1)
{
return 1;
}
return RecurFibonacci(n - 1) + RecurFibonacci(n - 2);
}
分析：思路简单理解，但是效率很低，面试官不一定会喜欢。因为在进行递归时，会重复的计算。
解法二：非递归的解法（面试官期待的解法）
long long Fibonacci(unsigned int n)
{
long long fib[2] = { 0,1 };
if (n < 2)
{
return fib[n];
}
long long fibOne = 0;//保留Fibonacci（n-2）
long long fibTwo = 1;//保留Fibonacci（n-1）
long long fibN = 0;//第n个Fibonacci序列的结果
for (unsigned int i = 2; i <= n; i++)
{
fibN = fibOne + fibTwo;
fibOne = fibTwo;
fibTwo = fibN;
}
return fibN;
}
分析：程序的可读性虽然比较差，但是其效率很高。
测试代码：
#include<iostream>
#include<Windows.h>
using namespace std;
int main()
{
int start = GetTickCount();//从操作系统启动所经过（elapsed）的毫秒数
RecurFibonacci(40);
int end = GetTickCount();
cout <<"递归解法："<< end - start << endl;
start = GetTickCount();
Fibonacci(40);
end = GetTickCount();
cout << "非递归解法：" << end - start << endl;
getchar();
return 0;
}
2、跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解法分析：
最简单的情况：
如果只有1级台阶，那么显然只有一种跳法。如果有2级台阶，那么则会有2种跳法：一种是分两次跳，每次跳1阶；另外一种则是一次跳2级。
一般情况：
当n大于2时，第一次跳的时候有两种选择：一种是第一次只跳1阶，此时的跳法就是f(n-1),另外一种跳法就是第一次跳2阶，然后此时的跳法就是f(n-2)。所以总的次数就是f(n)=f(n-1)+f(n-2);很明显此时是一个斐波那契数列。
long long jumpFloor( unsigned int number)
{
unsigned int jump[2] = { 0,1 };
if (number < 2)
{
return jump[number];
}
long long jumpOne = 1;
long long jumpTwo = 1;
long long jumpN = 0;
//n>2时为斐波那契数列
//跳一阶则方法为jumpFloor(n-1)
//跳两阶则方法为jumpFloor(n-2)
for (unsigned int i = 2; i <= number; i++)
{
jumpN = jumpOne + jumpTwo;
jumpOne = jumpTwo;
jumpTwo = jumpN;
}
return jumpN;
}
3、变态跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解法分析：
使用数学归纳法：
1）当n为1的时候，只有1种跳法
2）当n为2的时候，可以有（1,1）和（2）共2种跳法
3）当n为3的时候，可以有（1,1,1）、（1,2）、（2，1）、（3）共4种跳法
4）当n为4的时候，可以有（1,1,1,1）、（1、2、1）、（1、3）、（1、1、2）、（2，1,1）、（2,2）、（3,1）、（4）共8种跳法
.......
由数学归纳法得f(n)=2的（n-1）次方。
long long jumpFloorII(unsigned int number) {
if (number <= 0)
{
return 0;
}
return pow(2, number - 1);
}
4、矩形覆盖
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
解法分析：
假设当n为1的时候，只有1种覆盖方法
当n>2时，覆盖大矩形的最左边时有2种覆盖方法：当竖着放的时候右边还剩下2*(n-1)个区域，此时的覆盖方法为f(n-1);当横着放的时候，那么最左下角也必须横着放，那么右边还剩下2*（n-2）个矩形，此时的方法为f(n-2);总的方法为f(n)=f(n-1)+f(n-2),又是斐波纳挈数列。
long long rectCover(unsigned int number) {
if (number < 1)
{
return 0;
}
long long stepOne = 0;
long long stepTwo = 1;
long long step = 0;
for (unsigned int i = 1; i <= number; i++)
{
step = stepOne + stepTwo;
stepOne = stepTwo;
stepTwo = step;
}
return step;
}