数据结构与算法小结（2）

一、二叉搜索树

1.BST试图解决的问题：

高效的兼顾静态的查找和动态的增删。
在基本的数据结构中
    数组通过寻秩可实现高效的查找，但增删效率低；
    向量通过寻位置访问，增删高效，但查找低效，而且因为增删前通常都需要先找到对应的元素，这使得其效果更差。

改进思路是改变访问方式，使用寻关键码访问。引入关键码，将数据项与其关键码绑定，统一的表示为词条的形式，根据关键码来访问元素，用数据项保存元素。
关键码需支持比较器和判等器。

2.BST的特性

顺序性：任一节点均不小于/不大于其左/右后代
单调性：BST的中序遍历序列必然单调非降。BST的充要条件
BST中，根节点中序遍历的后继为右子树中最小的节点

3.BST的接口实现

查找：类似二分查找，最后得到匹配节点（无匹配项时为空的哨兵节点）以及其父节点_hot。

插入：查找，无雷同元素则将待插入节点作为找到的_hot节点的子节点插入。

删除：先查找，找到的节点只有一个子树时，直接删除，用其子树替换；若有两个子树，找到该节点的后继（比该节点大的最小的节点，该点必定只有一个子树），先交换这两个点，再删除需删除的节点。

删除的算法实现：
Template <typename T> static BinNodePosi(T)
removeAt( BinNodePosi(T) & x,BinNodePosi(T) & hot ){
    BinNodePosi(T) w = x;               //实际被摘除的节点，初值同x
    BinNodePost(T) succ = NULL;         //实际被删除节点的接替者
    if(!hasLChild(*x)){
        succ = x = x->rChild;           //情形一：待删除节点没有左孩子，直接以右孩子接替（右孩子可为空）。
    }else if(!hasChild(*x)){
        succ = x = x->lChild;           //这段代码不会走到，没有孩子时，肯定没有左孩子，会走情形一
    }else{                              //情形二：待删除节点有左右孩子
        w = w->succ();                  //先找到在中序遍历中，待删除节点的后继（即比待删节点大的最小节点）
        swap(x->data,w->data);          //交换待删节点与其后继的值
        BinNodePosi(T) u = w->parent;   //找后继是先找右孩子，然后沿左侧链到底，所以此处有此判断。需注意的是，左侧链到底，所以其必定没有左孩子，可能由右孩子
        (u == x ? u->rChild :u->lChild) = succ = w->rChild;     
    }
    hot = w->parent;
    if(succ){        //若之前找到的后继有右孩子
        succ->parent = hot;  //因为其一定没有左孩子，所以可以通情形一处理。
    }
    release(w->data);
    release(w);
    return succ;
}

4.适度平衡

理想平衡：叶节点只能出现在最底部的两层，即完全树甚至满树。
适度平衡：高度渐进地不超过o(logn),即可称作适度平衡。即平衡二叉搜索树BBST。
    对于每个节点，其子节点数为偶数，即要么没有子节点，要么有两个子节点。
等价BST：上下可变（父子关系可颠倒），左右不乱（中序遍历序列不变，全局保持单调非降）。
    等价变换、旋转调整。zig顺时针，zag逆时针

适度平衡的例子之AVL树：

AVL树：所有节点左右子树的高度只差不大于1。
    高度为h的AVL树，至少包含S(h) = fib(h + 3) - 1个节点。
    由n的节点构成的AVL树，高度至多为o(logn)

AVL实现：
    每个节点需维护一个平衡因子，其值为左子树树高减去右子树树高，每次增删节点时，都需向上冒泡计算。所以，每个节点还需维护一个记录其树高的成员变量。
    插入：若要失衡，共有四种情况，因对称的重复，可分两种情况讨论
        1.左（右）侧链，此时单旋即可使子树高度复原
        2.Z字链，此时双旋也可使子树高度复原
        当子树高度复原时，其更高的祖先也必定平衡。
    删除：同插入一样，也可以分为两种情况讨论，但不同的是，删除后经过单旋或双旋，原树高度不一定会复原，更高祖先仍可能失衡，这就是失衡传播现象，最坏需要做o(logn)次调整。
    双旋：
        zigzig都在左侧，顺时针旋转
        zagzag都在右侧，逆时针旋转
        zigzag 右、左，双旋，之字形排列
        zagzig 左、右
    双旋实现：将三个节点（a,b,c）、四颗子树(A,B,C,D)看做单个元素做中序遍历,传入7个参数，最后返回一颗子树，该子树以b为根，左右孩子分别为a、c,a的孩子为A、B，c的孩子为C、D。此时树高最小。
    双旋实现的启发：理论分析时使用的是形象的工具，实际操作时，往往有更暴力、性能更优的解，当然，这些解需要对理论的工具有更深的理解才能想到。

二、高级搜索树

1.伸展树：

伸展树期望解决的问题：

更快的访问。
它依赖于这样一个现象：刚被访问过的数据，很有可能会很快的被再次访问；下一个访问的数据极有可能在刚访问的数据附近。这就是数据访问的局部性。
伸展树的策略：
    节点一旦被访问，随即调整至树根。自下而上，逐层单旋，直到被推到树根。