昨天刚刚看了Byvoid大牛“有向图强连通分量的Tarjan算法”文章<https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan>,然后参考“【强连通分量】图论复习(一)”文章选了RQNOJ480作为我写Tarjan的第一题<http://blog.csdn.net/njlcazl/article/details/7734170>。感谢上述两篇文章的参考,原文链接已附在后面。
一:基础知识
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,
Low(u)=Min { DFN(u), Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点 DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边) }
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点v还在栈内 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) }
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附:tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i) { int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; instack[i]=true; Stap[++Stop]=i; for (edge *e=V[i];e;e=e->next) { j=e->t; if (!DFN[j]) { tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j]; } if (DFN[i]==LOW[i]) { Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i); } } void solve() { int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN)); for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i); }
《以上内容摘抄自前面提到的文章:有向图强连通分量的Tarjan算法》
二:题目(RQNOJ T480 相连的农场)
【分析】:这道题可以用Tarjan求强连通分量来做。首先建个链表:如果对应输入临接矩阵中为1(即i到j有路相连),那么就将i点到j点这一条路用链表形式记录下来,这样能方便的从某一点一直追溯到最远能到达的点。程序中建链表的方式如下:
void add(int x,int y)
{
a[++tot].to=y;//以x为出发点,y为到达点的边,在链表中的编号为tot
a[tot].next=last[x];//这条边的上一条边(即以x为到达点的边)的编号存在last[x]里
last[x]=tot;//记录最新的last[x]值,方便下一次的连边
}
边建好后,就进行塔尖算法(Tarjan)
void tarjan(int now)
{
DFN[now]=LOW[now]=++step;//为节点now设定次序编号和Low初值
stack[++tot1]=now;//将节点now压入栈中(这里用的是数组模拟栈)
instack[now]=true;//表示该点存在于栈中
for(int i=last[now];i;i=a[i].next)//顺着链表顺序,枚举每一条边
{
int now_to=a[i].to;
if(!DFN[now_to])//如果节点now_to未被访问过
{
tarjan(now_to);//继续向下找
LOW[now]=min(LOW[now],LOW[now_to]);
}
else if(instack[now_to])//如果节点now_to还在栈内
{
LOW[now]=min(LOW[now],DFN[now_to]);
}
}
if(DFN[now]==LOW[now])//如果节点now是强连通分量的根
{
ans++;
int now_out;
do
{
now_out=stack[tot1--];//将now_out退栈(now_out为该强连通分量中一个顶点)
instack[now_out]=false;
belong[now_out]=ans;//记录该点属于哪个强连通分量
}while(now!=now_out);
}
}
最后按belong数组输出即可。
【代码】:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 100001
#define MAXN 100001
struct point{int to,next;};
point a[MAX];
int N,last[MAX],tot=0,step=0,belong[MAX],stack[MAX],ans=0,tot1=0;
int DFN[MAX],LOW[MAX];//DFN[u]:节点u搜索的次序编号,LOW[u]:u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号<DFN>
bool instack[MAX],putout[MAX];
void add(int x,int y)
{
a[++tot].to=y;
a[tot].next=last[x];
last[x]=tot;
}
void tarjan(int now)
{
DFN[now]=LOW[now]=++step;
stack[++tot1]=now;
instack[now]=true;
for(int i=last[now];i;i=a[i].next)
{
int now_to=a[i].to;
if(!DFN[now_to])
{
tarjan(now_to);
LOW[now]=min(LOW[now],LOW[now_to]);
}
else if(instack[now_to])
{
LOW[now]=min(LOW[now],DFN[now_to]);
}
}
if(DFN[now]==LOW[now])
{
ans++;
int now_out;
do
{
now_out=stack[tot1--];
instack[now_out]=false;
belong[now_out]=ans;
}while(now!=now_out);
}
}
int main()
{
memset(instack,false,sizeof(instack));
memset(putout,false,sizeof(putout));
scanf("%d",&N);
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=N;j++)
{
int C;
scanf("%d",&C);
if(C==1) add(i,j);
}
for(int i=1;i<=N;i++)
if(!DFN[i])
tarjan(i);
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=N;i++)
{
if(putout[belong[i]]) continue;
putout[belong[i]]=true;
for(int j=i;j<=N;j++)
{
if(belong[j]==belong[i])
printf("%d ",j);
}
printf("\n");
}
//system("pause");
return 0;
}
再次感谢文章开头提到的的两篇文章的帮助!
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