寻找最大的K个数(TOP K算法)

前言：

本文是对编程之美第2.5节以及博文http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6370650的一些总结和心得

问题描述：

有很多个无序的数，怎么从中选出其中最大的若干数呢？

这个问题中的很多可以是几个数也可以使成百上亿的数，针对此问题我们有以下解法：

解法一：

咱们先简单的理解，要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，很简单，先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数即可。

至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序，我们知道，快速排序平均所费时间为n*logn，然后再遍历序列中前k个元素输出，即可，总的时间复杂度为O（n*logn+k）=O（n*logn）。但这只能针对数据量不大的情况下可以实现。

解法二：

类似快速排序的划分方法，N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取一个数X（随机选取枢纽元，可做到线性期望时间O（N）的复杂度），把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，

1，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素；

2，否则返回Sa中k个小的元素+Sb中小的k-|Sa|个元素。

这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度O（Nlog2K）。

解法三：

RANDOMIZED-SELECT，每次都是随机选取数列中的一个元素作为主元，在0（n）的时间内找到第k小的元素，然后遍历输出前面的k个小的元素。 如果能的话，那么总的时间复杂度为线性期望时间：O（n+k）=O（n）（当k比较小时）。如果不做随机选取，这里的最坏情况和快速排序一样可能达到O（n2）。

解法四：

我们已经得到了三个解法，不过这三个解法有个共同的地方，就是需要对数据访问多次，那么就有下一个问题，如果N很大呢，100亿？

当然，更好的办法是维护k个元素的最小堆，原理与上述第2个方案一致，即用容量为k的最小堆存储最先遍历到的k个数，并假设它们即是最大的k个数，建堆费时O（k）后，有k1<k2<...<kmax（kmax设为大顶堆中最小元素）。继续遍历数列，每次遍历一个元素x，与堆顶元素比较，x>kmax，更新堆（用时logk），否则不更新堆。这样下来，总费时O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。

解法五：

计数排序，时间复杂度虽能达到O（n），但限制条件太多，我们必须假设所有N个整数都是正整数，且他们的取值范围不大，才可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个数。

综合考虑我们一般选取上面的解法四来做我们的算法，也就是我们常常说的TOP K算法。