Yale开放课程博弈论11

这节课的内容与之前的差异很大，我们开始探讨进化论与博弈论，我们分析的不再是一些游戏而是动物行为。我们把基因看成策略（与之前不同的是，动物采取的策略不是主动选择，而是天生的），遗传适应看成收益。

今天先讲一个非常简单的模型，种内竞争 (Within Species Competition)

它是一个双参与人的对称博弈，假设有一个很大的动物群种，采用随机配对记录平均收益的方式比较各种策略的收益。当采用相对较成功策略时个体数量会增加。为了简便假设不存在基因重分配，即无性繁殖。

这节课一个很重要的概念就是进化稳定策略，即当S的任意突变S’最终都会灭绝，则S是进化稳定策略（NE）。

我们采用囚徒困境例子中的收益，作为无性生殖的合作或者背叛策略的收益，那么合作策略是进化稳定的吗？

我们会发现当出现一些突变的背叛型的个体后，这些突变个体的收益更大，他们不但没有灭绝反而会不断增加，即C不是进化稳定策略。那么当背叛战胜了合作，背叛是稳定的吗？是的。

 

Lesson 1. 自然选择的进化结果是很糟糕的

Lesson 2. 如果一个策略是严格劣势策略，那么它就不是进化稳定的。

 

另外一个3*3的对称博弈

	a	b	c
a	2,2	0,0	0,0
b	0,0	0,0	1,1
c	0,0	1,1	0,0

c是否为ES？不是，因为b的入侵会成功。

b也不是ES，因为c会入侵，突变b本身也不是进化稳定的

那么(c, c)是纳什均衡吗？不是，因为存在严格有利的变动b。

 

Lesson：如果策略S不是纳什均衡，则S就不是ES。若S是ES策略，则(S, S)是纳什均衡。策略的优劣以及纳什均衡都与进化稳定有关。

 

但现实是残酷的，下面这个例子说明纳什均衡未必是进化稳定策略。

双人两策略

a      b

a      1,1 0,0

b      0,0 0,0

存在纳什均衡(a,a)和(b, b)，我们来看看第二个纳什均衡，它是进化稳定策略吗？

突变的基因a的收益会比b高，即(b, b)不是ES。这里是因为b是弱最佳对策。

 

如果(S, S)是严格纳什均衡，即S针对S是严格最优对策，则S是ES。

在课堂上老师从生物学和经济学上给出了进化稳定策略的严格定义，第一个太复杂，这里只说说第二个定义：

在一个双参与者的对称博弈中，纯策略S是进化稳定策略（在纯策略下），两个条件：

a）(S, S)是对称纳什均衡，即S对S的收益要不少于任意S’对S的收益（S是S的最佳对策）；

b）如果上面的不等式取等号时（当是弱纳什均衡时），那么S对S’的收益一定要大于S’对S’的收益（它的收益要比突变个体的收益高）。

 

即突变灭绝有两个原因：

1）  S是严格优势的，因为S’对S的收益没有S对S的高。

2）  S’对S的收益与S对S的收益一样，但是S’对S’的收益较S对S’低。