4 1 4 20 11 3 14 24 6 0
Case 1: 2 Case 2: 72 Case 3: 32 Case 4: 0 Case 1: 56 Case 2: 72 Case 3: 56//下面的思路是大神写的,指数型母函数问题 引例:假设有8个元素,其中a1重复3次, a2重复2次,a3重复3次。从中取r个组合,, 这样,对于一个多重集,其中a1重复n1次,a2 重复n2次,…,ak重复nk次, 从中取r个排列的不同排列数所对应的指数型母函数为 G(x)=(1+x/1!+x^2/2!+…——x^n1/n1!)(1+x/1!+x^2/2!+…)…(1+x/1!+x^2/2!+…+x^n/n!) 定义:对于序列a0,a1,a2,…,函数 G(x)=a。+a1/1!*x+a2/2!*x^2+a3/3!*x^3…+ak/k!*x^k+… 称为序列a0,a1,a2,…对应的指数型母函数。
G(X) = ( 1+ x + x^2/2! + x^4/! + .. )^2 * ( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +... )^2 A, C 只能出现偶数或者不出现情况 B, D出现方式不限制 得: x^n 项系数 a(n) = (4^n+2*2^n)/(4*n!)
思路:构造指数级生成函数:(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.
前面是B和D的情况,可以任意取,但是相同字母一样,所以要除去排列数。后者是A和C的情况,只能取偶数个情况。
根据泰勒展开,e^x在x0=0点的n阶泰勒多项式为 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……
而后者也可以进行调整,需要把奇数项去掉,则e^(-x)的展开式为1-x/1!+X^2/2!-X^3/3!……
所以后者可以化简为(e^x+e^(-x))/2。则原式为(e^x)^2 * ((e^x*e^(-x))/2)^2
整理得到e^4x+2*e^2x+1。
又由上面的泰勒展开
e^4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + ... + (4x)^n/n!;
e^2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + ... + (2x)^n/n!;
对于系数为n的系数为(4^n+2*2^n)/4=4^(n-1)+2^(n-1);
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<iostream> #define INF 0x3f3f3f3f #define ull unsigned long long #define ll long long #define IN __int64 #define N 10010 #define M 1000000007 using namespace std; ll kp(int n,ll k) { ll s=1; while(k) { if(k&1) s=(s*n)%100; n=(n*n)%100; k>>=1; } return s; } int main() { int t,i,j,k; ll n; while(scanf("%d",&t),t) { int T=1; while(t--) { scanf("%lld",&n); int m=(kp(4,n-1)+kp(2,n-1))%100; printf("Case %d: %d\n",T++,m); } printf("\n"); } return 0; }