经典算法之背包问题(0-1背包)

说明

假设有一个背包的负重最多可达8公斤,而希望在背包中装入负重范围内可得之总价物品,假设是水果好了,水果的编号、单价与重量如下所示:
0 李子 4KG NT$4500
1 苹果 5KG NT$5700
2 橘子 2KG NT$2250
3 草莓 1KG NT$1100
4 甜瓜 6KG NT$6700

解法

背包问题是关于最佳化的问题,要解最佳化问题可以使用“动态规划”(Dynamic programming),从空集合开始,每增加一个元素就先求出该阶段的最佳解,直到所有的元素加入至集合中,最后得到的就是最佳解。

以背包问题为例,我们使用两个阵列value与item,value表示目前的最佳解所得之总价,item表示最后一个放至背包的水果,假设有负重量 1~8的背包8个,并对每个背包求其最佳解。

逐步将水果放入背包中,并求该阶段的最佳解:
  • 放入李子
背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8
value 4500 4500 4500 4500 9000
item

  • 放入苹果
背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8
value 4500 5700 5700 5700 9000
item 1 1 1
  • 放入橘子
背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8
value 2250 2250 4500 5700 6750 7950 9000
item 2 2 1 2 2

  • 放入草莓
背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8
value 1100 2250 3350 4500 5700 6800 7950 9050
item 3 2 3 1 3 2 3

  • 放入甜瓜
背包负重 1 2 3 4 5 6 7 8
value 1100 2250 3350 4500 5700 6800 7950 9050
item 3 2 3 1 3 2 3

由最后一个表格,可以得知在背包负重8公斤时,最多可以装入9050元的水果,而最后一个装入的水果是3号,也就是草莓,装入了草莓,背包只能再放入7公斤(8-1)的水果,所以必须看背包负重7公斤时的最佳解,最后一个放入的是2号,也就是橘子,现在背包剩下负重量5公斤(7-2),所以看负重5公斤的最佳解,最后放入的是1号,也就是苹果,此时背包负重量剩下0公斤(5-5),无法再放入水果,所以求出最佳解为放入草莓、橘子与苹果,而总价为9050元。

class Fruit {
    private String name;
    private int size;
    private int price;
    
    public Fruit(String name, int size, int price) {
        this.name = name;
        this.size = size;
        this.price = price;
    }
    
    public String getName() {
        return name;
    }

    public int getPrice() {
        return price;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }
}

public class Knapsack {
    public static void main(String[] args) {
        final int MAX = 8;
        final int MIN = 1;
        int[] item = new int[MAX+1]; 
        int[] value = new int[MAX+1];  

        Fruit fruits[] = {
                new Fruit("李子", 4, 4500), 
                new Fruit("苹果", 5, 5700), 
                new Fruit("橘子", 2, 2250), 
                new Fruit("草莓", 1, 1100), 
                new Fruit("甜瓜", 6, 6700)}; 

        for(int i = 0; i < fruits.length; i++) { 
            for(int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX; s++) { 
                int p = s - fruits[i].getSize(); 
                int newvalue = value[p] + 
                                   fruits[i].getPrice(); 
                if(newvalue > value[s]) {// 找到阶段最佳解 
                    value[s] = newvalue; 
                    item[s] = i; 
                } 
            } 
        } 

        System.out.println("物品\t价格"); 
        for(int i = MAX; 
            i >= MIN; 
            i = i - fruits[item[i]].getSize()) { 
            System.out.println(fruits[item[i]].getName()+ 
                    "\t" + fruits[item[i]].getPrice()); 
        } 

        System.out.println("合计\t" + value[MAX]);  
    }
}

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