[leetcode] House Robber

Problem Description: 

You are a professional robber planning to rob houses along a street. Each house has a certain amount of money stashed, the only constraint stopping you from robbing each of them is that adjacent houses have security system connected and it will automatically contact the police if two adjacent houses were broken into on the same night.


Given a list of non-negative integers representing the amount of money of each house, determine the maximum amount of money you can rob tonight without alerting the police.

刚看题目还以为会是一个背包问题，看完题目才发现并没有那么复杂。只是从一个数组中选择一些数字，使得它们的总和最大。有点像最大子段和问题，但有个条件和它完全相反，最大子段和要求选择的那些数字必须是连续的，而本题则要求必须是不连续的。但是基本思想也差不多，都是用动态规划算法求解。

首先我们来看看这个问题是否具有重叠子问题和最优子结构。为方便描述，以下称该问题的最优解为最大不连续子段和MaxSum（自己随便取的名字）。

我们要求数组A[0..n-1]的最大不连续子段和，由于相邻的元素不能都选择，所以如果选择第n-1个元素的话，第n-2个元素就不能选择，这样得到的不连续子段和为MaxSum(A[0..n-3] + A[n-1])；而如果不选择第n-1个元素的话，那么得到的不连续子段和为MaxSum(A[0..n-2])。所以总体上来讲最大不连续子短和就是max{MaxSum(A[0..n-3] + A[n-1]), MaxSum(A[0..n-2])}。

如果我们递归地去求解MaxSum(A[0..n])的话，则需要重复地去求出MaxSum(A[0..i])， 0 <= i < n，即具有重复子问题的特性；而最优子结构则是指，如果能够求出前n-2或n-1个元素的不连续子段和的最优值，根据递推关系推出的前n个元素的不连续子段和一定是最优的。

这个问题比较简单，定义子问题有两种方式。

（1）dp0[i]表示如果不选择第i家，从第1家开始到第i家为止可以得到的最大收益；dp1[i]则表示如果选择第i家，从第1家到第i家可以获得的最大收益。

递推关系：dp0[i] = max(dp1[i-1], dp0[i-1]),  dp1[i] = A[i] + max(dp1[i-2], dp0[i-2])

初始条件：dp0[0] = 0, dp1[0] = 0; dp0[1] = 0. dp1[1] = A[0]

Tips: 为了更好地处理边界问题，可以从1开始计数，最终返回max(dp0[n], dp1[n])。

（2）其实从上面的分析也可以看到，根本不需要定义两个数组。所以另一种方法是：

dp[i]表示从第1家开始到第i家为止可以得到的最大收益（无论是否选择第i家）。

递推关系：dp[i+1] = max(nums[i] + dp[i-1], dp[i]);

初始条件：dp[0] = 0; dp[1] = A[0];