真币与假币的重量问题

　　现有八枚硬币a b c d e f g h，已知其中一枚是假币，其重量不同于真币，但不知是较轻或较重，如何使用天平以最少的比较次数，决定出哪枚是假币，并得知假币比真币较轻或较重。
　　单独求假币的问题是不难的，但问题是“限制使用最少的比较次数”，所以我们不能以单纯的回圈比较来求解，我们可以使用决策树（decision tree），使用分析与树状图来协助求解。一个简单的状况是这样的:
　　1）我们比较a+b+c与d+e+f ，
　　如果相等，则假币必是g或h，我们先比较g或h哪个较重，如果g较重，再与a比较（a是真币），
　　1.1）若 g=a，从而g为真币，h为假币，则”真币较重，假币较轻”；
　　1.2）若 g>a，从而g为假币，h为真币，则”真币较轻，假币较重”;
　　1.3）若 g< a，从而g为假币，h为真币，则”真币较重，假币较轻”；
　　1.4）同理，在第1）步时，若h较重，仿照1.1)、1.2)、1.3)进行操作即可。
　　2）若a+b+c ≠ d+e+f，假设a+b+c较重(即a+b+c > d+e+f)，比较 a+b 与 d+e的大小，
　　2.1）若 a+b = d+e，则说明a为真币，令x=”真币重量”=a，
　　再将x与c进行比较：
　　若 x=c，则c为真币，f为假币，推出“真币较重，假币较轻”；
　　若 x>c，则c为假币，f为真币，推出“真币较重，假币较轻”，推出a+b+c < d+e+f，与假设条件“假设a+b+c较重”矛盾，即x>c 这种情况不存在；
　　若 x< c，则c为假币，f为真币，推出“真币较轻，假币重”；
　　2.2）若 a+b > d+e，且c为真币，令x=”真币重量”=c，
　　再将x与a进行比较：
　　若 x=a，则a为真币，b为假币，推出“真币较重，假币较轻”；
　　若 x>a，则a为假币，b为真币，推出”真币较重，假币较轻”，推出a+b < d+e ,与已知条件“a+b > d+e”矛盾，即x>a这种情况不存在；
　　若 x< a，则a为假币，b为真币，推出“真币较轻，假币较重”；
　　2.3）同理，在第2）步时，若d+e+f较重，仿照2.1)、2.2)进行操作即可。
　　由上面的推理知，至少需要 2+1 = 3步，才能在8块硬币中找出一块假币。
　　详细代码如下：
　　//Coins.cpp　

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

void compare(int[],int,int,int);
void eightcoines(int []);

int main(void){
    int coins[8] = {0};
    int i;

    srand(time(NULL));

    for (i=0;i<8;i++)
    {
        coins[i] = 10;
    }

    printf("\n输入假币重量(比10大或小): ");
    scanf("%d",&i);
    coins[rand()%8] = i;

    eightcoines(coins);

    printf("\n\n列出所有钱币重量: ");
    for(i=0;i<8;i++)
        printf("%d ",coins[i]);

    printf("\n");

    return 0;
}

void compare(int coins[],int i,int j,int k){
    if(coins[i] > coins[k]) //这里的k代表已验证的真币
        printf("\n假币 %d 较重",i+1);
    else
        printf("\n假币 %d 较轻",j+1);
}

void eightcoines(int coins[]){
    if (coins[0]+coins[1]+coins[2] == 
        coins[3]+coins[4]+coins[5])
    {
        if(coins[6] > coins[7])
            compare(coins,6,7,0);
        else
            compare(coins,7,6,0);
    }
    else if (coins[0]+coins[1]+coins[2] >
             coins[3]+coins[4]+coins[5])
    {
        if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4])
            compare(coins,2,5,0);
        else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4])
            compare(coins,0,4,1);
        if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4])
            compare(coins,1,3,0);
    }
    else if(coins[0]+coins[1]+coins[2] < 
            coins[3]+coins[4]+coins[5])
    {
        if(coins[0]+coins[3] == coins[1]+coins[4])
            compare(coins,5,2,0);
        else if(coins[0]+coins[3] > coins[1]+coins[4])
            compare(coins,3,1,0);
        if(coins[0]+coins[3] < coins[1]+coins[4])
            compare(coins,4,0,1);
    }

}

　　效果如下：　　

图(1) 第一种情况：真币较轻，假币较重

图(2) 第二种情况：真币较重，假币较轻