【bzoj1257】[CQOI2007]余数之和sum 数论乱搞

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

Source

数论

k%i可以写成k-k/i*i，所以重点在求 ∑⌊ki⌋∗i

打表可得，当i逐渐增大时， ∑⌊ki⌋ 在连续区间内的值保持不变。仔细想想其实 ⌊ki⌋ 的取值只有 k√ 个。因为每个数都对应一段连续区间，所以[1,n]整个区间被分为 k√ 个。于是我们可以枚举每个区间，复杂度是 O(k√) 。

设连续区间为[l,r]，区间内的值为w，则需满足 w=⌊kl⌋=⌊kr⌋ ，使得l最小，r最大。

因为我们要枚举区间，所以l的值可以确定。

因为 w=⌊kl⌋ ，w是下取整后的结果，是最小的。所以 r=⌊kw⌋ ，w是最小的，r就是最大的。

这样在当前区间内，w的值就确定了，区间大小也确定了。因为要乘i，所以当前区间就是公差为w的等差数列。当前区间对答案的贡献为：

−l+r2∗w∗(r−l+1)

最终答案是：

n∗k−∑l+r2∗w∗(r−l+1)

代码：

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    LL n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    LL ans = (LL)n * k;
    if(n > k) n = k; // if i>k k/i=0

    for(LL i = 1,l,r,w;i <= n;i = r + 1)
    {
        w = k / i;
        l = i; r = k / w;
        if(r > n) r = n;
        ans -= (r - l + 1) * w * (l + r) / 2;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}