LeetCode: Factorial Trailing Zeroes

1 题目

2 寻找阶乘的特点

定义：
一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。亦即n!=1×2×3×…×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

二十以内数：
以下列出 0 至 20 的阶乘：
0！=1，（0 的阶乘是存在的，且定为1）
1！=1，
2！=2，
3！=6，
4！=24，
5！=120，
6！=720，
7！=5040，
8！=40320
9！=362880
10！=3628800
11！=39916800
12！=479001600
13！=6227020800
14！=87178291200
15！=1307674368000
16！=20922789888000
17！=355687428096000
18！=6402373705728000
19！=121645100408832000
20！=2432902008176640000

根据上面的列举，我们不难发现规律。每次做乘法其实都是一个数一个数在乘，而产生新的末尾0 的乘法是一个数乘上上一个末尾非零的数是关键，因为0乘以任何数都是0，末尾零的数量之后增加或不变，不会减少。

而乘法是可以因式分解的，这样更直观。我们发现，因式分解后只有2*5才能产生末尾0，所以求n的阶乘的末尾0的数量只要确定它因式分解后有几个（2，5）对即可。

又因为，阶乘是从0一直乘到n，这个过程中，有很多数（偶数）可以分解为包含因数2的式子，所以，2的数量是远大于5的数量的。因此，我们只要求有多少个5就可以了。

参考：http://blog.csdn.net/xudli/article/details/42262153

“计算5的个数时, 最简单的方法是 SUM(N/5^1, N/5^2, N/5^3…)”

• “N/5^1”的节点至少可以分解出一个5；
• “N/5^2”的节点至少可以分解出两个5，但是“N/5^1”中已经包括了“N/5^2”的节点，所以只用再计数一边就行了，而不是乘以2；
• 同理，“N/5^3”产生的节点至少可以分解出3个5，……
• 以此类推

拿50举例：
50！ = 50 * 49 * 48 * 47 * 46 * …… *1。

• 50/5^1 = 10，产生的节点是【5 10 15 25 30 35 40 45 50】这10个节点；其中，25 = 5 * 5 可以分解出2个5，50 = 2 * 5 * 5也可以分解出2个5。
• 50/5^2 = 2，产生的节点是【25 50】这两个节点。

3 代码

public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        if(n<1) return 0;   
        int c = 0;   

        while(n/5 != 0) {    
            n /= 5;   
            c += n;   
        }   

        return c;   
    }
}