最小生成树-(贪心思想)
1、问题描述
设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。
网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w]表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。
2、MST性质
设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)属于E，且u属于U，v属于（V-U），且在所有这样的边中，(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。
MST性质的证明：如图所示，假设G的任何一颗最小生成树都不包含边(u,v)。将边(u,v)添加到G的一颗最小生成树T上，将产生含有边(u,v)的圈，并且在这个圈上有一条不同于(u,v)的边(u',v')，使得u'属于U，v’属于（V-U）。将边(u',v')删去，得到G的另一颗生成树T'。由于c[u][v]<=c[u'][v']，所以T'的耗费<=T的耗费。于是T'是一颗含有边(u,v)的最小生成树，这与假设矛盾。
最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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|
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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|
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
 |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
|
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
|
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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|
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
|
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
#define INF 999999
int map[MAXN][MAXN],n;
void printtree(int tree[])//输出函数。
{
cout << "Edge" << '\t' << "Weight" << endl;
for (int i = 1; i < n; i++)
{
cout << tree[i] << "-" << i << '\t' << map[i][tree[i]] << endl;
}
}
int minkey(int key[], bool vis[])
{
int min = INF, min_index;//初始化代价为无穷，定义最小代价的结点的位置。
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (!vis[i] && key[i] < min)
{
min = key[i]; min_index = i;
}
}
return min_index;
}
void Prim()
{
int tree[MAXN];//表示树当前情况；
int key[MAXN];//表示树的代价；
bool vis[MAXN];//表示树的状态；
for (int i = 0; i < n; i++)
{
key[i] = INF;
vis[i] = false;
}
key[0] = 0;
tree[0] = -1;//第一个为树根。
for (int i = 0; i < n - 1; i++)//连接V个点，只需要V-1条边。
{
int u = minkey(key, vis);//找出代价最小且未被访问过得结点。
vis[u] = true;//标记已访问。
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (map[u][j] && vis[j] == false && map[u][j] < key[j])
{
tree[j] = u, key[j] = map[u][j];
}
}
}
printtree(tree);
}
int main()
{
cout << "请输入表格，表示各点到其他点的代价" << endl;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
cin >> map[i][j];
}
}
Prim();
return 0;
}
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
struct Node
{
int u;
int v;
int w;
};
Node E[MAXN * 2]; //存放所有的边
bool cmp(Node a, Node b)
{
return a.w < b.w;
}
int map[MAXN][MAXN],n,vset[MAXN];
//保存各点的关系的矩阵，顶点数，判断是否在同一个集合
int find(int x)//判断是否在同一个集合
{
if (vset[x] == -1)
{
return x;
}
return vset[x] = find(vset[x]);
}
void kruskal()
{
int k = 0; //E数组的下标从0开始
for (int i = 0; i<n; i++)
{
for (int j = 0; j<n; j++)
{
if (map[i][j] != 0)//map[i][j]==0等于无边
{
E[k].u = i;
E[k].v = j;
E[k].w = map[i][j];
k++;
}
}
}
sort(E, E + k, cmp); //堆排序，按权值从小到大排列
memset(vset, -1, sizeof(vset)); //初始化辅助数组
for (int j = 0; j < k; j++)
{
int sn1 = find(E[j].u);
int sn2 = find(E[j].v); //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1 != sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
{
printf("from %d to %d, value:%d\n", E[j].u, E[j].v, E[j].w);
vset[sn1] = sn2;
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
cin >> map[i][j];
}
}
kruskal();
system("pause");
return 0;
}