TJOI2015 Day2解题报告

旅游：

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1978

在一棵N<=10^5的树上要求支持：①从a点走到b点，求最大的value[j]-value[i]，其中i,j是点，i在路径中出现的位置先于j。②将a~b路径上每个点的value加上v。

自然可以用树链剖分/LCT做。每一段区间存四个数：①“后减前”型的最大值fmx，②“前减后”型的最大值bmx（这是由于有时候区间可能会被翻转），③最大值mx，④最小值mn。合并时的思路是这样的：合并区间的fmx要么是max(a.fmx,b.fmx)，要么是b.mx-a.mn。它们分别对应于没有跨越mid和跨越了mid这两种情况。bmx同理。

树链剖分的具体细节十分复杂，调了半天。

棋盘：

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1979

这道题的题面比较坑：它是从0开始编号的，也就是说棋子是站在中间那一行，能打到上面那一行和下面那一行。所以某一行的棋子放置只和相邻行有关。而每一行一共至多2^M（不超过64）种放法，也就是说可以预处理出来转移矩阵：D[i][j]=1代表上一行为i时下一行可以为j。然后用矩阵快速幂搞即可。

概率论：

http://cojs.tk/cogs/problem/problem.php?pid=1980

先写个N^2的70分暴力。算出两个数组：statesum[i]代表有i个节点的树共有多少种，sonsum[i]代表所有不同情况中的叶子节点个数之和。那么i个节点的树的答案自然就是sonsum[i]/statesum[i]。把暴力打的表全部输出，可以发现statesum[i]就是卡特兰数C[i]，而sonsum[i]一定是i的倍数。多少倍呢？也是卡特兰数，确切的讲是C[i-1]。那么n个节点的树，答案就是n*C[n-1]/C[n]。把卡特兰数的通项公式代进去，答案就是n*(n+1)/(2*(2n-1))。

具体的证明十分复杂，需要求出生成函数，然后用广义二项式定理求系数，然后再用积分求另外一个系数。