题目大意,给出一棵树,有边权,找出其中一条包含了不少于L,不多于R条边的路径,使得 Average(v(e)) 最大,上式表示所有选择的边的平均权值。
(n<=50000,边权<=10^7)
思路:因为是平均数所以想到了二分(其实根本想不到),我们二分最后的答案,将树上所有边都减去当前二分到的的平均数,然后再在树中找有没有一条包含了不少于L,不多于R条边的路径,使得路径总长>=0了,如果有,说明当前答案小了,否则当前答案大了。
对于二分答案的的验证,我们采用点分治,对于每一个当前子树(设为s),我们设G(s)为当前子树的重心,son(s)为儿子的集合,那么对于每一个状态s,我们都必须计算出以s根为转折点的最长路径(当然要满足限制,之后不赘述了),那么我们这样考虑,对于当前s,我们找到它的重心,设为当前的root,那么这样以后树的深度就不会超过log层了,我们对于当前的每个son(root),找到它到根的很多条链,我们设g(k)为son中,包含了k条边的最长的链长度,然后合并到当前root的状态上。(合并的过程用单调队列实现)。
那么复杂度为什么是n*log的呢?我们想到对于深度为1的root,我们需要进行o(n)的操作(包括找重心,找链,单调队列合并(虽然常数大但是确实是o(n)的)),那么第二层一共也最多加起来进行o(n)的操作,因为一共log层,所以不超过n*log的,常熟巨大就是了。
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <string> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <ctime> using namespace std; struct node{int to;int next;double len; };node bian[400010]; int sum = 0,first[400010],size[400010],leng,lenf,max_weight,l,r; int weight,q[400010],n,a,b; double Mina,g[400010],f[400010],c; bool visit[400010],found; void inser(int x,int y,double z) { bian[ ++ sum].to = y; bian[sum].next = first[x]; bian[sum].len = z; first[x] = sum; } void dfs(int x,int Anc) { size[x] = 1; for(int u = first[x];u;u = bian[u].next) if(!visit[bian[u].to] && bian[u].to != Anc) { dfs(bian[u].to,x); size[x] += size[bian[u].to]; } return; } void bfs(int x,int Anc,int depth,double val) { if(depth > leng) leng = depth,g[leng] = -1000000000000; if(val > g[depth]) g[depth] = val; for(int u = first[x];u;u = bian[u].next) if(!visit[bian[u].to] && bian[u].to != Anc) bfs(bian[u].to,x,depth + 1,val + bian[u].len - Mina); } void find_weight(int x,int Anc,int F) { int ret = 0; int sum = 0; for(int u = first[x];u;u = bian[u].next) if(!visit[bian[u].to] && bian[u].to != Anc) { find_weight(bian[u].to,x,F); if(size[bian[u].to] > ret) ret = size[bian[u].to]; sum += size[bian[u].to]; } if(size[F] - sum > ret) ret = size[F] - sum; if(ret < max_weight) weight = x,max_weight = ret; } void Div(int x,int Anc) { dfs(x,Anc); if(l > size[x]) return ; max_weight = 10000000; find_weight(x,Anc,x); dfs(weight,weight); for(int i = 0;i <= size[weight];i ++) f[i] = g[i] = -1000000000000; lenf = 0; for(int u = first[weight];u;u = bian[u].next) if(!visit[bian[u].to] && bian[u].to != Anc) { leng = 0; bfs(bian[u].to,weight,1,bian[u].len - Mina); int head = 1,tail = 0,last = leng; for(int i = 0;i <= lenf;i ++) { while(last + i >= l && last >= 0) { while(head <= tail && q[head] + i > r) head ++; while(head <= tail && g[last] > g[q[tail]]) tail --; q[ ++ tail] = last; last --; } if(head <= tail && g[q[head]] + f[i] > 0) { found = true;return ;} } lenf = max(lenf,leng); for(int i = 0;i <= leng;i ++) if(g[i] > f[i]) f[i] = g[i]; } visit[weight] = true; for(int u = first[weight];u;u = bian[u].next) if(!visit[bian[u].to] && bian[u].to != Anc && found == false) Div(bian[u].to,weight); } bool check(double x) { memset(visit,false,sizeof(visit)); Mina = x; found = false; Div(1,0); return found; } int main() { scanf("%d",&n); scanf("%d%d",&l,&r); for(int i = 1;i < n;i ++) { scanf("%d%d",&a,&b); scanf("%lf",&c); inser(a,b,c); inser(b,a,c); } double head = 0,tail = 1000000.0; while(tail - head > 0.0001) { double Mid = (head + tail) / 2.0; if(check(Mid)) head = Mid; else tail = Mid; } printf("%0.3f",head); return 0; }