Leetcode Longest Palindromic Substring（最长回文字串）
Longest Palindromic Substring
Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
给出一个字符串S，找到一个最长的连续回文串。
解决方法
1 动态规划（DP solution） O(n^2)
定义方法
P[i,j] = 字符串区间[i,j]是否为palindrome.
首先找个例子，比如S=”abccb”,
S = a b c c b
Index = 0 1 2 3 4
P[0,0] = 1 P[0,1] = S[0] == S[1] , P[1,1] =1 P[0,2] = S[0] == S[2] && P[1,1], P[1,2] = S[1] == S[2] , P[2,2] = 1 P[0,3] = S[0] == S[3] && P[1,2], P[1,3] = S[1] == S[3] && P[2,2] , P[2,3] =S[2] ==S[3], P[3,3]=1 ………………….
由此就可以推导出规律
P[i,j] = 1 if i ==j
P[i,j] = S[i] ==S[j] if j = i+1
P[i,j] = S[i] == S[j] && P[i+1][j-1] if j>i+1JAVA实现如下：
private String longestPalindrome(String s) {
int len = s.length();
boolean[][] p = new boolean[len][len];
int maxLength = 0, start = 0, end = 0;
for (int i = 0; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
p[j][i] = (s.charAt(j) == s.charAt(i) && (i - j < 2 || p[j + 1][i - 1]));
if (maxLength < (i - j + 1)) {
maxLength = i - j + 1;
start = j;
end = i;
}
}
p[i][i] = true;
}
return s.substring(start, end);
}2 Manacher’s ALGORITHM: O(n)
首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。
下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：
//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点。
if (mx - i > P[j])
P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。
那么这个结论就可以跳过很多不必要的判断
于是代码如下：
public class Solution{
public String getManacherString(String str){
StringBuilder sb=new StringBuilder("$");
int n=str.length();
for(int i=0;i<n;i++){
sb.append("#").append(str.charAt(i));
}
sb.append("#");
return sb.toString();
}
public String longestPalindrome(String s){
String newStr=getManacherString(s);
int len=newStr.length();
int[] radiusArray=new int[len];
int end=0;
int index=0;
int maxLen=0;
int maxIndex=0;
for(int i=1;i<len;i++){
if(end>i){
radiusArray[i]=Math.min(radiusArray[2*index-i], end-i);
}else{
radiusArray[i]=1;
}
while(i+radiusArray[i]<len&&i-radiusArray[i]>=1){
if(newStr.charAt(i+radiusArray[i])==newStr.charAt(i-radiusArray[i])){
radiusArray[i]++;
}else{
break;
}
}
if(radiusArray[i]+i>end){
end=radiusArray[i]+i;
index=i;
}
if(radiusArray[i]>maxLen){
maxLen=radiusArray[i];
maxIndex=i;
}
}
StringBuilder sb=new StringBuilder();
for(int i=maxIndex-maxLen+1;i<maxIndex;i++){
if(newStr.charAt(i)!='#'){
sb.append(newStr.charAt(i));
}
}
String resultStr=sb.toString();
if(newStr.charAt(maxIndex)!='#'){
resultStr+=newStr.charAt(maxIndex);
}
resultStr+=sb.reverse().toString();
return resultStr;
}
}github地址 LongestPalindromic